szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2006, o 15:29 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Wrocław
1. Wykaż ze różnica każdych dwóch liczb trzycyfrowych napisanych przy pomocy tych samych cyfr jest podzielna przez 3.
2. Dowiedż że jeżeli nεC to n� - 3n� + 2n jest podzielne przez 6.
3. Wykaż że różnica 4 potęg dwóch dowolnych liczb całkowitych różniących się o 2 jest podzielna przez 8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2006, o 15:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Zad.1
Wprowadźmy zapis \overline{abc}, który oznacza liczbę trzycyfrową. Liczbą setek jest a, liczbą dziesiątek b oraz liczbą jedności c. Czyli \overline{abc}=100a+10b+c.
Niech więc \overline{abc} będzie dowolną liczbą trzycyfrową. Liczby trzycyfrowe, które można zbudować z tych samych cyfr, to: \overline{abc}, \overline{acb}, \overline{bac}, \overline{bca}, \overline{ cab}, \overline{cba}.
1. \overline{abc} - \overline{abc}=0
Oczywiście 3|0.
W dalszych przypadkach będę brał 9 przed nawias, co oznacza, że dana liczba jest podzielna przez 9 - tym bardziej więc jest podzielna przez 3.
2. \overline{abc} - \overline{acb}= 100a+10b+c-100a-10c-b=9b-9c=9(b-c)
3. \overline{abc} - \overline{bac}=100a+10b+c-100b-10a-c=90a-90b=9(10a-10b)
4. \overline{abc} - \overline{bca}=100a+10b+c-100b-10c-a=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)
5. \overline{abc} - \overline{cab}=100a+10b+c-100c-10a-b=90a+9b-99c=9(10a+b-11c)
6. \overline{abc}- \overline{cba}=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=9(11a-11c)
Wykazaliśmy więc to, o co proszono w zadaniu - a nawet więcej. Różnica taka jest zawsze podzielna przez 9 ( w pierwszym przypadku oczywiście 9|0).

Zad.2
n^3 -3n^2 +2n=n( n^2 - 3n +2)=n( n^2 -n -2n+2) = \\ n[ n(n-1)-2(n-1)]=n(n-1)(n-2)
Mamy tutaj iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2 i jedna z nich jest podzielna przez 3. Czyli ich iloczyn jest podzielny przez 6.

Zad.3
Niech tymi liczbami będą a i a+2.
Wtedy:
(a+2)^4 - a^4=[(a+2)^2]^2 - (a^2)^2 =  [(a+2)^2 -a^2 ][(a+2)^2 +a^2]=\\ (a^2 +4a+4-a^2)(a^2 +4a+4+a^2)=(4a+4)(2a^2 +4a+4)= \\ 4(a+1) \cdot 2( a^2 +2a+2)=8(a+1)(a^2 +2a+2)
Więc istotnie różnica ta jest podzielna przez 8.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielnosc - zadania  karoline  5
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl