szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 11:38 
Użytkownik

Posty: 1026
Czy liczba 561606543115431651654028^{30} jest podzielna przez 2^{100} ?

Co zrobić by sprawdzić taką podzielność?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 11:41 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wskazówka: 561606543115431651654028 jest podzielna przez 2^2, ale przez 2^3 już nie.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 11:51 
Użytkownik

Posty: 222
Lokalizacja: Katowice
Można pokazać, że podstawa jest podzielna przez 16 = 2^4, więc całość jest podzielna przez 2^{120}. Inna sposób to przedstawienie podstawy w postaci a \cdot 10^k + b, tak aby k > 3 i b było podzielne przez 16, wtedy suma jest podzielna przez 16 i wniosek taki jak wcześniej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 12:01 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Fingon napisał(a):
Można pokazać, że podstawa jest podzielna przez 16 = 2^4

Nie można.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 12:05 
Użytkownik

Posty: 222
Lokalizacja: Katowice
Prawda, musiałem się pomylić przy przepisywaniu liczby, następnym razem skopiuje jak człowiek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 12:07 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tylko po co przepisywać całą liczbę? Cechą podzielności przez 2^n jest to, że liczba złożona z n ostatnich cyfr jest podzielna przez 2^n.

Tak więc dana liczba jest podzielna przez dwa, bo 8 jest podzielne przez dwa; jest podzielna przez cztery, bo 28 jest podzielne przez cztery; nie jest podzielna przez osiem, bo 028 nie jest podzielne przez przez osiem.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 1026
A jeśli zmienimy trzy ostatnie cyfry tej liczby z 028 na 032 i potęgę na 40 ( czyli będziemy mieć 5...032^{40} ) to jak teraz pokazać czy to jest podzielne czy też nie jest przez 2^{100}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli zrozumiałeś rozwiązanie poprzedniej wersji, to nie powinieneś mieć żadnych kłopotów z rozwiązaniem nowej wersji.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 1026
Jedyne co udaje mi się zrobić to pokazać, że liczba ta jest podzielna przez 4^{40}, ale wciąż pozostaje jeszcze 4^{10} i nie wiem co z tym zrobic...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zastanów się przez jaką maksymalną potęgę dwójki jest podzielne 561606543115431651654032.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2010, o 23:53 
Użytkownik

Posty: 1026
Wygląda więc na to, że jest podzielne przez 2^3 bo liczba złożona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8. Zatem na pewno ta cała duża liczba podniesiona do potęgi 40 jest podzielna przez 2^{120}, więc tym bardziej dzieli się przez 2^{100}. Mam nadzieję że tok rozumowania jest ok.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2010, o 00:00 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jest ok. A ta liczba jest podzielna nawet przez 2^4 (co już i tak nie jest nam potrzebne).

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2010, o 00:32 
Użytkownik

Posty: 1026
Ostatni (mam nadzieję) przykład:

1...030^{13} przez 2^{20}.

1...030 dzieli się przez dwa ( zatem 1...030^{13} jest podzielne przez 2^{13} ale wciąż pozostaje 2^7) i nie dzieli przez 4, ale to wciąż za mało. A czy można stwierdzić, że skoro nie jest podzielne przez 4^{13} to tym bardziej przez 4^{10} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2010, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ściślejsze rozumowanie jest takie: jeśli liczba a dzieli się przez 2, a nie dzieli się przez 2^2, to znaczy że dwójka wchodzi w rozkład a na czynniki liczby pierwsze z wykładnikiem jeden. Tak więc w rozkład a^{13} na czynniki pierwsze wchodzi z wykładnikiem trzynaście, co oznacza, że a^{13} nie jest podzielne przez 2^{14} ani żadną wyższą potęgę dwójki.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl