szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2010, o 17:37 
Użytkownik

Posty: 98
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba:

a) n^{4} + 2n^{3} + n^{2} jest podzielna przez 4

b) n^{3} - n jest podzielna przez 6

Moim zdaniem trzeba by wyliczyć jakoś pierwiastki tych wielomianów stosując twierdzenie Bezouta ale jak to zrobić to nie wiem ; p bardzo proszę o pomoc :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 wrz 2010, o 17:44 
Użytkownik

Posty: 496
Lokalizacja: Polska
n^4+2n^3+n^2=n^2(n^2+2n+1)=n^2\cdot(n+1)^2

n i (n+1) to kolejne liczby naturalne. Jedna z nich musi więc być parzysta. Kwadrat każdej liczby parzystej dzieli się przez 4.
n=2k\  \Rightarrow \ n^2=4k^2
Czyli- taki iloczyn dzielić się musi przez 4.

n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)

Masz tu iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest jedna podzielna przez 3 i co najmniej jedna parzysta. Ich iloczyn musi więc dzielic się przez 2\cdot3=6, bo 2 i 3 są względnie pierwsze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2010, o 17:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
n^4 + 2n^3 + n^2 = n^2(n^2 + 2n + 1) = n^2(n+1)^2 = [n(n+1)]^2

Iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 2, jeżeli podniesiemy to do kwadratu, to będzie podzielne przez 4.

n^3-n = n(n^2-1) = (n+1)n(n-1)

Iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych zawsze będzie podzielny przez 6.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl