szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 662
Uzasadnij, że liczba n^2-n dzieli się przez 2, gdzie n - liczba naturalna. Wiem jakie jest rozwiązanie tego zadania ale nie wiem, skąd ono się wzięło. Dlaczego tak to powinno być a nie inaczej? Do czego trzeba dążyć w tym uzasadnianiu? Nauczycielka jakoś nam nie wytłumaczyła, tylko od razu zadania zadała. Proszę o wytłumaczenie jak to powinno się robić to uzasadnienie. Jak to się mówi? Jak chłop krowie na rowie? A odpowiedź do tego zadania jest taka:
n(n-1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 20:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
n^2-n=n(n-1)
2|n(n-1)

Po prostu, iloczyn 2 kolejnych liczb będzie zawsze parzysty, ponieważ zawsze wśród 2 kolejnych liczb znajdzie się liczba parzysta ;)

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 20:40 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Vax napisał(a):
n(n-1) |2


hmm, coś mi nie pasuje :?: :?: :?: :?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 1040
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
n-1, n - dwie kolejne liczby naturalne.
2|n(n-1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 20:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Tutaj mamy iloczyn n oraz n-1, więc 2 kolejne liczby naturalne, nie wiem, jak to jeszcze wytłumaczyć :? Jak chcesz, może wystarczy Ci dowód przy pomocy indukcji matematycznej:

n^2-n

Krok 1: Dla n=2 wyrażenie dzieli się przez 2.
Krok 2: n=k założenie: k^2-k dzieli się przez 2.
Krok 3: Teza: n=k+1
(k+1)^2-k-1 = k^2+2k+1-k-1 = k^2+k = k^2-k+2k

Na mocy założenia indukcyjnego k^2-k dzieli się przez 2, a 2k dzieli się przez 2, ponieważ jednym z czynników jest 2.

Wniosek, n^2-n dzieli 2 dla każdego n\in N  \wedge n>1

Takie coś wystarczy ? :P

Pozdrawiam.

@smigol, ok, warunki co do n już podałem :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 20:48 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Vax, chodzi o to, że napisałeś iż 2 jest podzielne przez n(n-1). A to raczej nie jest prawdziwe dla każdego n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 20:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Eh, no tak, masz rację, zawsze się pomylę w tych oznaczeniach :P

Dzięki za uwagę!

Pozdrawiam.

-- 9 wrz 2010, o 23:11 --

Ja bym to zrobił tak, wiemy, że:

\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}

(można to udowodnić np. indukcyjnie)

Podstawiając n=2n+1, otrzymamy:

\sum_{i=1}^{2n+1} i = \frac{(2n+1)(2n+2)}{2}

P = \frac{2(n+1)(2n+1)}{2} = (n+1)(2n+1)

Jak widzimy, jednym z czynników jest 2n+1, więc suma dzieli się przez 2n+1 CND.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2010, o 22:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1464
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Moja rada dotycząca ogółu Twoich problemów z podzielnością - poczytaj trochę o jednoznaczności rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność sumy liczb do potegi przez sume liczb do potęgi  MenosGrandes  8
 Liczba podzielna przez 11  Kwiatek29  2
 Udowodnij, że otrzymane liczby sa podzielne przez 8  Vidar  1
 Podzielność wyrażenia przez 5.  fatalonety  7
 Różnica kwadratów podzielna przez 8  dzidziuniaa  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl