szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Mazowsze
Witam bardzo serdecznie.
Proszę o pomoc oraz wytłumaczenie poszczególnych zadań:

1) wykaż, że Jeśl n \in \mathbb{N} to (n+2) ^{4}  - n ^{4} , jest podzielne przez 8.

oraz następne zadanie.

2) Dla jakich n \in \mathbb{N} liczba n ^{2}  + 4n - 8 jest kwadratem liczby naturalnej?

Proszę o zrozumiałe rozpisanie takowych zadań.
z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Ad 1.:
Po rozbiciu i uporządkowaniu:
(n+2) ^{4} - n ^{4} = 8 n^3+24 n^2+32 n+16 = 8(n^3 + 3n^2 + 4n + 2)

Ad 2.:
Coś Ci nie wyszło w zapisie, n ^{2} = 4n - 8 nie ma rozwiązań rzeczywistych, co dopiero naturalnych...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Mazowsze
Zadanie 2 zostało poprawiane.

-- 20 wrz 2010, o 19:28 --

8 n^3+24 n^2+32 n+16 = 8(n^3 + 3n^2 + 4n + 2)
Nie zabardzo rozumiem, skąd wziął się ten zapis. Proszę o wytłumaczenie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:31 
Użytkownik

Posty: 255
n^2+4n-8 = (n+2)^2-12, niech x = n+2, mamy więc x^2-12=k^2, czyli
(x-k)(x+k) = 12.
Ponieważ x i k są naturalne oraz x>k, więc musimy rozważyć układy równań:
\left\{\begin{array}{l}
x-k = 1\\
x+k= 12
\end{array}\right.\\
\left\{\begin{array}{l}
x-k = 2\\
x+k= 6
\end{array}\right.\\
\left\{\begin{array}{l}
x-k = 3\\
x+k= 4
\end{array}\right.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:32 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Wyłączyłem ósemkę przed nawias.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Mazowsze
To że wyłączyłeś 8 przed nawias, w działaniu końcowym to rozumiem.
Lecz nie wiem w jaki sposób uzyskałeś działanie: 8 n^3+24 n^2+32 n+16
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Rozbiłem całość ze wzoru (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Mazowsze
W związku z tym, że słabo znam ten wzór, ciężko mi przychodzi zrozumieć to zadanie...

Także reasumując, nadal nie wiem jak to zrobić.
Wiem, że trzeba skorzystać z tego wzoru (którego nie znałem do tej pory), ale jakoś wychodzi
mi inny wynik niż Ty podałeś, więc musze coś źle robić.
Także jakbyś rozpisał to w jak najprostrzej postaci, to może wtedy bym zrozumiał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Nie znasz wzorów skróconego mnożenia? Słabo, spore zaległości...

Ale nic straconego, zawsze możesz sobie zapisać to jako:
(n+2)(n+2)(n+2)(n+2) - n^4
i wymnożyć na siłę. Wyjdzie tak jak pisałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 18:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Można nie korzystać ze wzoru, tylko skorzystać z tego, że:

a^4-b^4 = (a^2+b^2)(a^2-b^2) = (a^2+b^2)(a+b)(a-b)

I pod a i b podstawić liczby z naszego przykładu, a następnie wyciągnąć przed nawias co się da :)

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Mazowsze
(n+2)(n+2)(n+2)(n+2) =
= n ^{4} + 2n ^{3} + 4n ^{2}+ 2n ^{3} + 4n ^{2} +16 + 4n ^{2} + 8n + 16

Ad. (n+2)(n+2)= n ^{2} + 2n +4

W dalszym ciągu nie rozumiem...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 19:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
(n+2)^2 = n^2+4n+4

Poza tym, szybciej będzie sposobem, który podałem:

a^4-b^4 = (a^2+b^2)(a-b)(a+b)

Czyli w naszym przypadku:

(n^2+4n+4+n^2)2(2n+2) = (2n^2+4n+4)4(n+1) = 8(n^2+2n+2)(n+1)

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Mazowsze
ja rozumiem, ze to działanie 8 n^3+24 n^2+32 n+16
wyszło ze wzoru (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Więc postepując wg. tego wzoru: n ^{4} + 8n ^{3} + 24 n ^{2} + 32n + 16.
Podałeś taki wynik tylko bez członu pierwszego mianowicie: n ^{4} (który stoi na początku) dlaczego go nie uwzględniłeś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 19:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Zauważ, że po (n+4)^4 masz jeszcze -n^4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2010, o 19:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
@Althorion go od razu zredukował z -n^4 stojącym na końcu ;) Ale jeszcze raz powtórzę, jak się da, to lepiej nie wymnażać wszystkiego, jeżeli da się to zrobić łatwiejszym sposobem ;)

Pozdrawiam.

EDIT// Znowu 2 :| :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kongruencja - cechy podzielnosci przez 4  kloppix  4
 czy istnije taka liczba podzienlne przez 19 bez reszty  Dretu  6
 Udowodnij skracalność ułamka przez 24  Spokojny_  3
 Podzielność przez 3 - zadanie 8  darhthmalak_6  7
 Udowodnij, ze ... daje przy dzieleniu przez 8 reszte 1 - zadanie 2  Kisioj  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl