szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2010, o 10:06 
Użytkownik

Posty: 95
1. Wykaż, że jeżeli a\in C to a^3 - a jest podzielne przez 6.
2. Wykaż, że różnica kwadratów dwu kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 8.

Co do drugiej części tematu to jestem w trakcie robienia zadania i chciałbym tylko o sprawdzenie poprawności. Powinienem zamieścić je za chwilę, zajmie to trochę czasu, ponieważ nie opanowałem jeszcze LaTeX :p

Treść tego zadania to: Liczby całkowite a, b, c przy dzieleniu przez 4 dają odpowiednio reszty 1, 2, 3. Oblicz resztę z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 4.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2010, o 10:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1010
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Zad. 2

Dane są dwie kolejne liczby całkowite nieparzyste:

2k+1 oraz 2k+3, gdzie k\in C.

Obliczmy różnicę kwadratów tych liczb:

(2k+3)^{2}-(2k+1)^{2}=4k^{2}+12k+9-4k^{2}-4k-1=8k+8=8(k+1)

Różnica kwadratów tych liczb jest postaci 8(k+1), czyli jest podzielna przez 8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2010, o 10:28 
Użytkownik

Posty: 95
Widzę, iż zastosowałeś wzór skróconego mnożenia (chyba), bo skąd pojawiłoby się to 12k? Nie miałem tego w gimnazjum, więc mógłbyś wytłumaczyć na czym to polega? Oraz do moderatora: co do nazwy tematu to przepraszam, lecz myślałem, iż był to poprawny dział, ponieważ w książce są to "zbiory i podzbiory..."
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2010, o 10:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1010
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Tak, zastosowałam wzór skróconego mnożenia:

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2010, o 10:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 24
Lokalizacja: Kępno
Ad 1:
a^{3} -a = a(a^{2}-1)=(a-1)a(a+1)

Jeżeli a należy do całkowitych to są to trzy kolejne liczby całkowite, z których co najmniej jedna jest podzielna przez 2 i jedna jest podzielna przez 3. Więc całe wyrażenie jest podzielne przez 6.

W ad 2 łatwiej wziąść 2n - 1 i 2n+ 1. Wtedy wychodzi 8n.

-- 26 wrz 2010, o 13:18 --

Sorry że tak długo ale obiadek niedzielny musi być :)

ad. 3

Jeżeli nie umiesz takiego zadania rozwiązać od razu zawsze spróbuj rozpatrzeć prostsze zadanie pomocnicze. W tym przypadku:

Zbadaj, jakie reszty z dzielenia przez cztery uzyskujemy dzieląc kwadraty liczb, które w dzieleniu przez cztery dają różne reszty.

(4n)^{2} = 16n^{2} \Rightarrow R=0

(4n +1)^{2} = 16n^{2} + 8n +1 = 4(4n^{2}+2n) +1\Rightarrow R=1

(4n +2)^{2} = 16n^{2} + 16n +4 = 4(4n^{2}+4n+1)\Rightarrow R=0

(4n +3)^{2} = 16n^{2} + 24n +9 = 4(4n^{2}+6n+2) +1\Rightarrow R=1

Teraz wystarczy że zsumujesz reszty liczb danych w zadaniu, czyli:
1+0+1=2

Oczywiście można było to zrobić jako jedno wyrażenie, ale brakuje takiemu rozwiązaniu przejrzystości i ogólności:

a,b,c \in N

a=4n +1 , b=4m +2 , c=4o +3

(4n +1)^{2} + (4m +2)^{2} + (4m +2)^{2} = 16n^{2} + 8n +1 +16m^{2} + 16m +4 + 16n^{2} + 24n +9 = 4n(4n +2) + 4m(4m+4) + 4o(4o+6) + 14 = 4 [n(4n +2) + m(4m+4) + o(4o+6) +3] +2

Pozdrawiam i zachęcam do kombinowania, szukania nowych sposobów, bo to nie sa trudne zadania, zdecydowanie dostępne dla sprytnego gimnazjalisty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 95
Miałem zamieścić wynik za "chwilę" lecz miałem małe kłopoty z dostawcą internetu. Dzięki wielkie za pomoc. Temat do zamknięcia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 sprawdzenie rozwiązania-podzielnosc  Lame  3
 Podzielnosc przez 12.  good_luck  1
 Zasada Szufladkowa, podzielność  Milczek  1
 Podzielność sumy przez 90  Danlew  1
 Bez obliczania liczby udowodnij podzielność  vladimir  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl