szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 18:39 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Warszawa
Witam, mam problem z następującym zadaniem.

Dany jest trójkąt ABC oraz dwie liczby rzeczywiste dodatnie t i s . Na boku AC trójkąta ABC obrano punkt K w taki sposób, że \left|CK \right| = t* \left| KA\right| . Podobnie na boku BC obrano punkt L w taki sposób, że \left| CL\right|  = s* \left| LB\right|. Wiesz, że pole trójkątaALC wynosi P. Wyznacz pole trójkąta BCK .

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu

Pozdrawiam,
Adam
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 19:13 
Użytkownik

Posty: 16230
Oznacz sobie na rysunku:
AK=x\\
KC=tx\\
BL=y\\
LC=sy
\gamma - kąt przy wierzchołku C

P_{BCK}= \frac{tx(sy+y)sin\gamma}{2}
P_{BCK}= \frac{txy(s+1)sin\gamma}{2}

P_{ALC}= \frac{sy(x+tx)sin\gamma}{2}\\ 
P= \frac{syx(1+t)sin\gamma}{2}

Stąd wyznacz sin\gamma
P= \frac{syx(1+t)sin\gamma}{2}

i podstaw do
P_{BCK}= \frac{txy(s+1)sin\gamma}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki za rozwiązanie ale czy można by to zrobić bez trygonometrii??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 16230
Ale tam nie musisz liczyć sinusa tego kąta.
Wzór na pole trójkąta z sinusem znasz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Warszawa
S = \frac{ab\sin\gamma}{2} = \frac{bc\sin\alpha}{2} = \frac{ca\sin\beta}{2}; ???

Ogólnie jestem w gimnazjum i jeszcze trygonometrii na razie nie ruszam
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 16230
Tak, chodzi o ten wzór. Mieliście go na lekcjach?
Jeżeli tak, to rozwiązanie jest do przyjęcia. Jeżeli nie, to trzeba szukać innego sposobu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 21:26 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Warszawa
W zasadzie to niestety nie uczymy się trygonometrii w gimnazjum.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 16230
Jak wymyślę inne rozwiązanie, dam znać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Warszawa
Będę bardzo wdzięczny za nie.
Adam
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 wrz 2010, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 16230
Oznaczenia jak poprzednio plus
h_A- wysokość poprowadzona z wierzchołka A
h_B- wysokość poprowadzona z wierzchołka B

P_{ALC}= \frac{sy \cdot h_A}{2}\\ 
P= \frac{sy \cdot h_A}{2}\\
h_A= \frac{2P}{sy}

P_{ABC}= \frac{(x+tx) \cdot h_B}{2}=\frac{x(1+t) \cdot h_B}{2}\\
P_{ABC}= \frac{(y+sy) \cdot h_A}{2}=\frac{y(1+s) \cdot h_A}{2}
stąd
\frac{x(1+t) \cdot h_B}{2}=\frac{y(1+s) \cdot h_A}{2}
x(1+t) \cdot h_B=y(1+s) \cdot h_A
h_B= \frac{y(1+s) \cdot h_A}{x(1+t)}

Podstawiamy
h_A= \frac{2P}{sy}

h_B= \frac{y(1+s) \cdot \frac{2P}{sy}}{x(1+t)}

h_B= \frac{2P(1+s) }{sx(1+t)}


P_{BCK}= \frac{tx \cdot h_B}{2}= \frac{tx \cdot \frac{2P(1+s) }{xs(1+t)}}{2}= \frac{Pt(s+1)}{s(t+1)}

Mam nadzieję, że się w tych literkach nie pomyliłam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2010, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Warszawa
P_{ALC}= \frac{sy \cdot h_A}{2}\\ P= \frac{sy \cdot h_A}{2}\\ h_A= \frac{2P}{sy}

P_{ABC}= \frac{(x+tx) \cdot h_B}{2}=\frac{x(1+t) \cdot h_B}{2}\\ P_{ABC}= \frac{(y+sy) \cdot h_A}{2}=\frac{y(1+s) \cdot h_A}{2}
stąd
\frac{x(1+t) \cdot h_B}{2}=\frac{y(1+s) \cdot h_A}{2}

x(1+t) \cdot h_B=y(1+s) \cdot h_A
h_B= \frac{y(1+s) \cdot h_A}{x(1+t)}
Podstawiamy
h_A= \frac{2P}{sy}

h_B= \frac{y(1+s) \cdot \frac{2P}{sy}}{x(1+t)}

h_B= \frac{2P(1+s) }{sx(1+t)}


Lecz tutaj już jest błąd

Powinno być
P_{BCK}= \frac{tx + x\cdot h_B}{2}= \frac{x(t+1) \cdot \frac{2P(1+s) }{xs(1+t)}}{2}= \frac{2Px(t+1)(s+1)}{2xs(1+t)} = \frac{P(s+1)}{s}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 wrz 2010, o 18:25 
Użytkownik

Posty: 16230
Nie masz racji.
Podstawą trójkąta BCK jest odcinek KC=tx

Obrazek

Poza tym wynik byłby inny niż w tym sposobie, który podałam jako pierwszy.
Wyniki w obu moich rozwiązaniach są takie same, tzn w obu sposobach wychodzi P_{BCK}= \frac{Pt(s+1)}{s(t+1)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pola kół wpisanych w trójkąty prostokątne  Anonymous  10
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl