szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 63
Lokalizacja: kalina
Uzasadnij,że liczba 7^{10}+7^{12}+7^{14}+7^{16} jest podzielna przez 35.
7^{10}+7^{12}+7^{14}+7^{16}

7^{10}*(1+7^2+7^4+7^6)

7^{10}*(1+7^2*(1+7^2+7^4))

7^{10}*(1+7^2*(1+7^2*(1+7^2)))

7^{10}*(1+7^2*(1+7^2*50))
Więcej pomysłów nie mam , 49*50 jest podzielne przez 35, ale to nie uzasadnienie.
Proszę o podpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
W nawiasie skorzystaj ze wzoru na sumę częściową ciagu geometrycznego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17834
Lokalizacja: Cieszyn
To co w nawiasie nie dzieli się przez 35, bo daje resztę 15. Zatem trzeba to inaczej przekształcić.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 16231
7^{10}+7^{12}+7^{14}+7^{16}

7^{10}*(1+7^2+7^4+7^6)

7^{10}*[(1+7^2)+7^4(1+7^2)]

7^{10}*(1+7^2)(1+7^4)

7^{10}*(1+7^2)(1+7^4)

7^{9} \cdot 7 \cdot 50(1+7^4)

350 \cdot 7^{9} (1+7^4)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17834
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
W nawiasie skorzystaj ze wzoru na sumę częściową ciagu geometrycznego.


Chyba coś nie tak: brakuje 7^1, ale zawsze można odjąć :) Ale zobacz mój poprzedni post.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 16231
A Ty popatrz na mój post :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
szw1710 napisał(a):
Cytuj:
W nawiasie skorzystaj ze wzoru na sumę częściową ciagu geometrycznego.


Chyba coś nie tak: brakuje 7^1, ale zawsze można odjąć :) Ale zobacz mój poprzedni post.


Nic nie brakuje mamy 1=7^{0} i skok jest co dwa.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 492
Lokalizacja: Łódź
7^{10}(1+7^2)+7^{14}(1+7^2)=(1+7^2)(7^{10}+7^{14})=50*7^2(7^{8}+7^{12})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2010, o 21:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17834
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
Nic nie brakuje mamy 1=7^{0} i skok jest co dwa.


Mea maxima culpa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2010, o 22:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 63
Lokalizacja: kalina
Uzasadnienie już mam, dziękuję.
Nakahed90 napisał(a):
W nawiasie skorzystaj ze wzoru na sumę częściową ciagu geometrycznego.

Nie rozumiem, tylko co dałoby mi skorzystanie z tego wzoru(dodam, że z suma częściową ciągu geometrycznego spotykam się po raz pierwszy. Czerpiąc informacje z http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Ci%C4%85gi_liczbowe/Suma_cz%C4%99%C5%9Bciowa_ci%C4%85gu)
Obliczyłem:
Suma ciągu 1+7^2+7^4+7^6=7^0+7^2+7^4+7^6

a_1=7^0=1

n=4 bo cztery liczby dodajemy

q= \frac{a_k+1}{a_k}

q= \frac{a_2}{a_1}

q= \frac{7^2}{1}

q=7^2 , q \neq 1 więc stosujemy wzór

S=a_{1}* \frac{1-q^n}{1-q}

S=1* \frac{1-(7^2)^4}{1-7^2}

S=\frac{1-49^4}{1-49}

S=\frac{1-7^8}{1-7^2}

S=120100 obliczone na kalkulatorze, inaczej nie umiem tego podzielić.
Nie wiem czy coś robię źle, czy coś ominąłem, ale nie wychodzi mi uzasadnienie tą metodą.
Co robię źle ? Czego nie wyliczyłem ?
PS:(120100*7)*7^9=24020*35*7^9=7^{10}+7^{12}+7^{14}+7^{16}
ale jak obliczyć to bez kalkulatora\frac{1-7^8}{1-7^2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 paź 2010, o 00:08 
Użytkownik

Posty: 492
Lokalizacja: Łódź
Nie rozumiem czemu koniecznie chcesz to robić w ten sposób ale ok, niech ci będzie.
Bez kalkulatora obliczamy to następująco:
Licznik:(1-(7^4)^2)=(1-7^4)(1+7^4)=(1-7^2)(1+7^2)(1+7^4). Po skróceniu z mianownikiem zostaje (1+7^2)(1+7^4)=50*(1+7^4).


Natomiast w moim powyższym poście masz na końcu:
50*7^2(7^{8}+7^{12}) a jak sam zauważyłeś 50*7^2 jest podzielne przez 35...

P.S Chcę ci pogratulować- zwróciłam uwagę na twój wiek i- o ile jest prawdziwy- to jesteś w gimnazjum i o ciągach dopiero usłyszysz (w liceum) :) Jak ja bym chciała mieć takich uczniów :) Brawo!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2010, o 04:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 63
Lokalizacja: kalina
Dziękuję, już wszystko rozumiem, powinienem sam zauważyć te wzory skróconego mnożenia.

PS: Przygotowuję się do olimpiady matematycznej, dlatego wszystko może mi się przydać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 13  Krzysiek91  2
 Podzielność sumy liczb do potegi przez sume liczb do potęgi  MenosGrandes  8
 Podzielność przez 3, z resztą 1.  maniekkk  12
 Podzielność liczb - zadanie 5  Rachet  1
 dzielenie przez 3  jadzia!!!  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl