szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2010, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 874
Lokalizacja: wszedzie
ABC jest trójkątem. Pewien okrąg przechodzący przez B i C przecina bok AB ponownie w punkcie C', bok AC ponownie w punkcie B'.H'jest ortocentrum trójkąta AB'C', H ortocentrum trójkąta ABC.
Dowieść, że BB',CC',HH' przecinają sie w jednym punkcie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2010, o 18:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
Obrazek

Niech punkty H_B, H'_C leżą na AC tak, by BH_B było wysokością w trójkącie ABC i C'H'_C było wysokością trójkąta AB'C'. Analogicznie definiujemy punkty H_C, H'_B.

Łatwo pokazać, że punkty B,B',H_B,H'_B leżą na okręgu o średnicy BB'. Podobnie punkty C,C',H_C,H'_C leżą na okręgu o średnicy CC', oraz B,B',C,C' leżą na okręgu o średnicy BC.

Niech okręgi opisane na wielokątach BB'H'_BH_B i CC'H'_CH_C przecinają się w punktach D,E.

Zauważmy, że proste BB', CC', DE są osiami potęgowymi okręgów opisanych na wielokątach BB'H'_BH_B, CC'H'_CH_C, BB'CC'. Zatm proste te przecinają się w jednym punkcie. Aby dokończyć rozwiązanie wystarczy pokazać, że punkty H, H' leżą na prostej DE, czyli pokazać, że potęgi tych punktów względem okręgów opisanych na BB'H'_BH_B i CC'H'_CH_C są równe. To zaś jest równoważne równościom H'B' \cdot H'H'_B = H'C' \cdot H'H'_C i HB \cdot HH_B = HC \cdot HH_C. A one są prawdziwe, gdyż punkty B',C',H'_B,H'_C leżą na okręgu o średnicy B'C' i punkty B,C,H_B,H_C leżą na okręgu o średnicy BC.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwie proste i punkt. Wyznacz okrąg.  dario777  6
 Oblicz obwód kwadratu na układzie współrzędnych, proste  marek252  3
 Trójkąty równoboczne i proste  Ice12  0
 proste i trójkąt  metalknight  1
 Proste zadanie z trójkątem  Kristofer90  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl