szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Pozna?
wielomiana x^n-n\cdot x^{n-1}+n-1 jest podzielny przez x-1.

Oraz w jaki inny sposób można rozwiązać to zadanie?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 21:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
A po co nam indukcja gdy mamy Tw. Bezout ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Pozna?
Ponieważ ktoś tworząc zadania lubi utrudniać ludziom życie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 21:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
To ja zrobię kluczowe elementy a Ty początek i końcówkę dasz radę ;)
Zał. x^n-n\cdot x^{n-1}+n-1=(x-1) \cdot Q(x)
Teza x^{n+1}-(n+1)\cdot x^{n}+n=(x-1) \cdot W(x)

L=x^{n+1}-(n+1)\cdot x^{n}+n=x^{n+1}-x^{n}-n\cdot x^{n}+n=...

-- 10 paź 2010, o 21:49 --

...=x^{n+1}-nx^{n}+ (nx-x)-(nx-x)-x^{n}+n+(1-1)= [x(x^{n}-nx^{n-1}+ n-1)]-nx+x-x^n+n+1-1= \ ZAL \ \ IND \ \ = x(x-1)Q(x)+(n-nx)+(x-1)+(1-x^n)=...

Czy dalej jasne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Pozna?
Niestety nie wiem co zrobić dalej :(
Ale do tego urwanego fragmentu dowodu tezy ind. rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 22:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Zrób tak by kazdy składnik tej sumy miał (x-1) -> da się ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 22:32 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Pozna?
A jak zapisać (n-nx) oraz (1-x^n) za pomocą x-1, bo nie mam zielonego pojęcia.

-- 10 paź 2010, o 22:41 --

(n-nx) = -(nx-n) = -n(x-1).
A drugiego chyba nie zrobię sam może jakaś podpowiedź :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 22:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
w tym drugim oczywiście wyłączyć -1 przed nawias (aby kolejność była właściwa ;) )
oraz
a^n-b^n=(a-b) \sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i}a^{n-i-1}b^{i}

Najważniejsze że da się wydzielić interesujący nas nawias. Pod sigmą jest i tak ukryty "jakis tam" wielomian
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Pozna?
Czyli inaczej to można zapisać tak (1-x^n)=-(x^n-1)=-(x-1)^n ?

I teraz wystarczy wyciągnąć x-1 przed nawias i otrzymujemy (x-1)(...), a (...) to W(x) czyli L=P.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 22:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
x^2 -1 = (x-1)^2 ???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Pozna?
W sumie racja jest różne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 23:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Niestety nie obejdzie sie bez tej sigmy :)
mała poprawka wzoru (ech ta późna pora): a^n-b^n=(a-b) \sum_{i=0}^{n-1}a^{n-i-1}b^{i}

zobacz przykłady:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \\
x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1) \\
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2010, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Pozna?
Ok wywalę tylko dwumian Newtona i będę miał skończone. Jutro tylko jeszcze zrobię tym twierdzeniem Bezouta i będę miał całe zadanie.
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - zadanie 25  kieubass  5
 Wykaz, ze .. suma  Barver  4
 Indukcja matematyczna - trygonometria  Isoptin  2
 Indukcja matematyczna - dowodzenie podzielności.  waski  8
 udowdnij indukcję.  S?ONECZKO188  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl