szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 11:36 
Użytkownik

Posty: 795
Lokalizacja: Tarnów
Treść zadania.

Niech T : [0, 1)  \rightarrow [0, 1) będzie funkcją określoną wzorem:

T(x) =  \begin{cases} 2x \ dla \ x  \in [0, \frac{1}{2}) \\ 2x - 1 \ dla \ x \in [\frac{1}{2}, 1) \end{cases}

Wyznaczyć złożenie T \circ T. Jeżeli to możliwe wyznaczyć funkcję odwrotna do T \circ T

I teraz moje pytanie. Jak mam złożyc tą funkcję skoro jest ona określona przedziałami? Czy mam to składać na przedziałach czy jak? Jeśli na przedzialach to w jaki sposób:

1. T \circ T = 2(2x) = 4x
2. T \circ T = 2(2x - 1) = 4x - 2
3. T \circ T = 2(2x) - 1 = 4x - 1
4. T \circ T = 2(2x - 1) - 1 = 4x - 3
?
Nie chce gotowca tylko jakieś wskazowki i małe podpowiedzi. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli x\in \left[0, \frac{1}{4} \right), to po pierwszym zaaplikowaniu T (wzór 2x) trafiamy do przedziału \left[0, \frac{1}{2} \right), więc drugie zaaplikowanie T też będzie przy użyciu wzoru 2x. Tak więc:
(T \circ T) (x) = 4x dla x\in \left[0, \frac{1}{4} \right).

Analogicznie badamy co dzieje się w przedziałach \left[\frac{1}{4},\frac{1}{2} \right), \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right), \left[\frac{3}{4},1 \right).

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 13:38 
Użytkownik

Posty: 795
Lokalizacja: Tarnów
Nie wiem czy dobrze zrozumialem więc:

(T \circ T)(x) = 4x - 2 dla x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

(T \circ T)(x) = 4x - 1 dla x \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{4})

(T \circ T)(x) = 4x - 3 dla x \in [\frac{3}{4}, 1)

?

I teraz czy da się zrobić funkcję odwrotną? Hm wg mnie tak tylko znowu na tych 4 przedziałach wiec bedą 4 różne funkcje odwrotne czy tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 13:59 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
wawek91 napisał(a):
(T \circ T)(x) = 4x - 2 dla x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

Nie. W tym przedziale jest:
T(T(x))=T(2x)
Ale teraz 2x jest w przedziale \left[ \frac{1}{2}, 1 \right), więc używamy drugiego wzoru:
T(2x)= 2\cdot (2x) -1 = 4x-1.

Analogicznie dla pozostałych przedziałów.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 795
Lokalizacja: Tarnów
Mam nadzieję, ze teraz jest już ok.

T(T(x)) = 4x - 2 dla x \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{4})

T(T(x)) = 4x - 3 dla x \in [\frac{3}{4}, 1)

I teraz z tą funkcją odwrotną będzie tak jak napisałem post wyżej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 14:31 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Teraz jest ok. Co do funkcji odwrotnej, przypomnij sobie jaki jest warunek konieczny i dostateczny by dana funkcja posiadała funkcję odwrotną.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 14:47 
Użytkownik

Posty: 795
Lokalizacja: Tarnów
Aby funkcja posiadala funkcje odwrotną to złożenia g \circ f i f \circ g musza być identycznościami. Więc tutaj będzie np:

2(2x) = 2(2x) ok
2(2x - 1) - 1 = 2(2x - 1) - 1 ok
2(2x) - 1  \neq 2(2x - 1) nie

Więc funkcje odwrotną możemy wyprowadzic tylko dla tych pierwszych dwóch złożeń?

Otrzymamy:

f^{-1}(x) = \frac{1}{4}x oraz f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{4}

Dobrze zrozumialem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 14:49 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
To co podałeś jest definicją funkcji odwrotnej, nie zaś warunkiem na istnienie funkcji odwrotnej.
Funkcja ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy jest różnowartościowa i "na". Czy T\circ T jest różnowartościowa?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 795
Lokalizacja: Tarnów
Nie nie jest różnowartościowa. Ponieważ np. wartość \frac{1}{2} przyjmuje 4 razy, po razie w każdym z tych przedziałów, które wypisaliśmy powyżej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
A zatem T\circ T nie ma funkcji odwrotnej.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2010, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 795
Lokalizacja: Tarnów
O Jezu dzieki Ci wielkie , mam nadzieje ze teraz jako tako mi sie to rozjasni w glowie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl