szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Bijekcja dla Q
PostNapisane: 13 paź 2010, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 440
Lokalizacja: Zielona Góra
Wyznacz funkcję wzajemnie jednoznaczną (bijekcję)
f: Q  \rightarrow Q   \setminus \left\{ 0\right\} gdzie Q oznacza zbiór liczb wymiernych.
Czy funkcja ta może być silnie rosnąca?

Przyznam szczerze, że nie bardzo mam pojęcie, jak się za to zabrać. Niby wiem, czym jest bijekcja, ale nie wiem, jak to tu zastosować.

Proszę uprzejmie o pomoc.

Pozdrawiam,
Ciamolek
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Bijekcja dla Q
PostNapisane: 14 paź 2010, o 09:02 
Użytkownik

Posty: 535
Lokalizacja: Łódź
Na przykład:

f(x)= \begin{cases} x+1 \,\,\,dla\,\,\, x  \in N \cup \{0\} \\ x  \,\,\,\,      dla\,\,\,\, x \in Q \setminus (N \cup \{0\})\end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Bijekcja dla Q
PostNapisane: 14 paź 2010, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 440
Lokalizacja: Zielona Góra
Prawda, podana przez Ciebie funkcja jest bijekcją.
Mi na myśl przychodzi chyba jeszcze bardziej trywialny przykład
f(x) = x^{-1} z tym tylko, że to odpowiada tylko na pół problemu.

Niemniej jednak, kluczowe jest rozstrzygnięcie, czy istnieje taka bijekcja spełniająca w/w. warunki, która byłaby ściśle rosnąca. Mam wrażenie, że Twoja ściśle rosnąca nie jest f(1)=2 > f(1.5)=1.5

Pozdrawiam i czekam na dalsze wsparcie,
Ciamolek
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Bijekcja dla Q
PostNapisane: 14 paź 2010, o 17:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Ciamolek napisał(a):
Mi na myśl przychodzi chyba jeszcze bardziej trywialny przykład
f(x) = x^{-1} z tym tylko, że to odpowiada tylko na pół problemu.

A ile wynosi f(0) ?

-- 14 paź 2010, o 18:30 --

Wydaje mi się że jeśli ma byc ściśle rosnąca to musi być tak:

f: Q \rightarrow Q_+

lub tak:

f: Q \rightarrow Q_{-}

Z asymptotą poziomą w zerze.
Jeśli jednak zbiór wartości to "wymierne bez zera" to takiej funkcji sie nie da zbudować. Bo zawsze pozostanie problem: co przyporządkować x=0?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Bijekcja dla Q
PostNapisane: 14 paź 2010, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 440
Lokalizacja: Zielona Góra
Lol, rzeczywiście przeoczyłem f(0) - aż wstyd.

A masz może jakiś pomysł na jakiś bardziej formalny dowód tego, że nie możemy uzyskać żadnej funkcji ściśle rosnącej spełniające w/w. warunki?

Pozdrawiam,
Ciamolek
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Bijekcja dla Q
PostNapisane: 14 paź 2010, o 18:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Formalnego nie ;) ale na pewno musi "zaczynać się" w III ćwiartce a "kończyć" w I.
Ponieważ będzie cały czas rosła to nieuchronnie (wraz ze zbliżaniem się x do zera) zbliżać się będzie do y=0. By potem na wykresie "przeskoczyć" powyżej osi OX.
Musielibyśmy znaleźć najmniejszą (co do wartości bezwzględnej) liczbę wymierną niezerową. I ją przypisać dla x=0 by potem dla kolejnych x>0 przypadały coraz większe liczby wymierne dodatnie.
A trzeba pamiętać że zbiór wartości ma pokryć cały zbiór Q  \setminus \left\{ 0\right\}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Bijekcja dla Q
PostNapisane: 14 paź 2010, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 440
Lokalizacja: Zielona Góra
OK, dzięki. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazywanie, że funkcja jest bijekcją  gutok  4
 Czy istnieje suriekcja, bijekcja  Jedwabisty  3
 pokazac ze funkcja jest bijekcja  karolina150490  1
 Bijekcja funkcji dwuzmiennych  pacia1620  6
 bijekcja i funkcja odwrotna..  raphel  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl