szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2006, o 15:47 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: reda
hem mam problem z udowodnieniem 2 rzeczy:
1) n"do"5-n jest parzyste
2) n"do"7-n jest podzielne przez 42


za pomoc bardzo dziękuję:)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2006, o 16:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
1) łatwiutko jest bez indukcji:
n(n^{4}-1)=n(n^{2}+1)(n+1)(n-1)
jedna z trzech kolejnych liczb (n-1), n, (n+1) jest na pewno parzysta
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2006, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 993
Lokalizacja: warszawa
n(n^{6}-1)=n(n^{3}-1)(n^{3}+1)=n(n-1)(n^{2}+n+1)(n+1)(n^{2}-n+1) napewno jest podzielne przez 2 i przez 3 czyli jest podzielne przez 6 teraz pytanie czy jest podzielne przez 7? ;) powiem ci jedno znajdziesz to na forum ;p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2006, o 01:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Znając tw. Eulera bardzo przyjemnie wykazuje się, że 42| n^7 - n. Pozostawiam więc taki dowód zainteresowanym.
A pozwolę sobie rozłożyć wyrażenie n^7 - n tak, by było widać, że jest ono wielokrotnością liczby 42.
n^7 -n=n(n^6 -1)=n(n^2 -1)(n^4 +n^2 +1)=n(n-1)(n+1)(n^4 +n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^4 -13n^2 + 36 +14n^2 - 35)=n(n-1)(n+1)[(n^2 - 4)(n^2 -9) + 7(2n^2 -5)]=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)(n-3)(n+3) +7n(n-1)(n+1)(2n^2 -5)
Druga część sumy jest podzielna przez 7 oraz przez 6 ( iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych). Pierwsza część sumy również jest podzelna przez 7,3 i 2( odpowiednio iloczyn 7,3 i 2 kolejnych liczb naturalnych). Tak więc części sumy są podzielne przez 42, czyli 42|n^7 - n.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 problem z dokończeniem  megg  1
 Problem z zadaniem - udowodnij że...  Feliks1990  2
 Problem z indukcją - zadanie 2  stanley12  8
 indukcja matematyczna, problem z końcówką zad.  Madziaa87  1
 problem z zadaniem - zadanie 4  marcel  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl