szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2010, o 07:47 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
Hej, witam wszystkich użytkowników forum ;)

Witam wszystkich na forum!
Czy ktoś mógłby mi pomóc rozwiązać zadanie?
Treść: Udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej, że \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n} >  \frac{2}{3}.

Mój pomysł na rozwiązanie był następujący: indukcja wsteczna (która jest w tym wypadku trywialna) + jakaś forma indukcji "do przodu". Udowadniając T(2n) można otrzymać ciąg, którego podciąg o parzystych mianownikach jest tym samym, co wyjściowy, tylko podzielony przez 2. Teraz wystarczyłoby wykazać, że pozostałe wyrazy są \ge  \frac{1}{3} , ale za nic nie potrafię tego zrobić, a rozwiązanie w stylu "każdy z tych wyrazów jest większy od wyrazu z mianownikiem o 1 większym, zatem, jeśli dodać wyraz \frac{1}{2n}, to z założenia indukcyjnego wynika, że wyrażenie będzie większe od \frac{1}{3} pomniejszone o \frac{1}{2n}, co dla odpowiednio dużych n jest prawdą" nie przeszło :roll:

Czy ktoś umiałby dokończyć moje rozumowanie, albo zaproponuje własne?
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2010, o 10:40 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Dla n=1 nierówność jest oczywiście prawdziwa.
Niech k\ge 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Załóżmy, że
\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k}>\frac{2}{3}.

Wówczas z założenia indukcyjnego \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2(k+1)}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}=(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k})+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}>\frac{2}{3}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}.
Wystarczy teraz pokazać, że \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}>0.
Mamy \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}-\frac{1}{k}=\frac{2k(k+1)+k(2k+1)+2(k+1)(2k+1)}{2k(k+1)(2k+1)}=\frac{2k^2+2k+2k^2+k+4k^2+6k+2}{2k(k+1)(2k+1)}=\frac{8k^2+9k+2}{2k(k+1)(2k+1)}, a to ma oczywiście wartość dodatnią (pamiętamy, że k jest liczbą naturalną).

To jest oczywiście szkic rozumowania, aby stał się dowodem potrzebny jest precyzyjny opis. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2010, o 11:28 
Użytkownik

Posty: 441
Lokalizacja: Bieszczady
wkradł się błąd i tam gdzieś zamiast plusa ma być minus i wszystko na nic
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2010, o 22:48 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
lukasz1804 napisał(a):
Dla n=1 nierówność jest oczywiście prawdziwa.
Niech k\ge 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Załóżmy, że
\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k}>\frac{2}{3}.

Wówczas z założenia indukcyjnego \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2(k+1)}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}=(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k})+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}>\frac{2}{3}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}.
Wystarczy teraz pokazać, że \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}>0.
Mamy \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}-\frac{1}{k}=\frac{2k(k+1)+k(2k+1)+2(k+1)(2k+1)}{2k(k+1)(2k+1)}=\frac{2k^2+2k+2k^2+k+4k^2+6k+2}{2k(k+1)(2k+1)}=\frac{8k^2+9k+2}{2k(k+1)(2k+1)}, a to ma oczywiście wartość dodatnią (pamiętamy, że k jest liczbą naturalną).

To jest oczywiście szkic rozumowania, aby stał się dowodem potrzebny jest precyzyjny opis. :)

Dzięki za zainteresowanie się tematem :)
Niestety obawiam się, że aż tak dobrze nie ma, ponieważ skoro \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k} = 1/k, to zwiększając mianowniki ułamków uzyskamy liczbę mniejszą od k - rzecz w tym, że ciąg jest malejący! Nie jestem pewien, czy w takim wypadku można udowodnić taką nierówność za pomocą indukcji, dzisiaj znowu próbowałem, ale po prostu nie wychodzi, chociaż Pani ćwiczeniowiec twierdzi, że to możliwe ;)
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2010, o 23:50 
Administrator

Posty: 21677
Lokalizacja: Wrocław
Nie wiem, jak może wyglądać dowód indukcyjny, ale podrzucę Ci szybki dowód z szacowaniem.

Rozumowanie przeprowadzę dla n parzystego. Dla nieparzystego robi się podobnie lub korzysta z monotoniczności tego ciągu sum.

Niech zatem n=2k dla pewnego naturalnego k. Mamy

\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n} =\\
= \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} +...+\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k}=\\
= \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} +...+\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}+...+\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k}=\\
=\frac{1}{3k-k} + \frac{1}{3k-(k-1)} +...+\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}+...+\frac{1}{3k+(k-1)}+\frac{1}{3k+k}>\\
>\frac{1}{3k-k} +\frac{1}{3k-(k-1)} +...+\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k+1}+...+\frac{1}{3k+(k-1)}+\frac{1}{3k+k}=\\
=\left( \frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k+1}\right)+... + \left( \frac{1}{3k-(k-1)}+\frac{1}{3k+(k-1)}\right)+\left( \frac{1}{3k-k}+\frac{1}{3k+k}\right)=\\
=\frac{6k}{9k^2-1}+... + \frac{6k}{9k^2-(k-1)^2}+ \frac{6k}{9k^2-k^2}>\\
>\frac{6k}{9k^2}+... + \frac{6k}{9k^2}+ \frac{6k}{9k^2}=\\
=\frac{2}{3k}+... +\frac{2}{3k}+\frac{2}{3k}=k\cdot\frac{2}{3k}=\frac{2}{3}.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2010, o 00:02 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Trzeba wzmocnić tezę i wtedy idzie łatwo indukcją, np. pokazać, że:
\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n} > \frac{2}{3}+ \frac{1}{2n+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2010, o 08:50 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
smigol napisał(a):
Trzeba wzmocnić tezę i wtedy idzie łatwo indukcją, np. pokazać, że:
\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n} > \frac{2}{3}+ \frac{1}{2n+1}

Niestety nie bardzo widzę jakby to miało wyglądać :oops: mógłbyś pokazać trochę dokładniej?

Rozumiem, że powyższe jest naszym założeniem indukcyjnym, teza wyglądać więc będzie następująco:
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+\frac{1}{2n+1} > \frac{2}{3}+ \frac{1}{2n+2}
Żeby skorzystać z założenia indukcyjnego musiałbym dodać stronami \frac{1}{n}, ale wtedy po prawej stronie mamy jeszcze czynnik \frac{1}{n} i nie za dobrze to wygląda :|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2010, o 09:34 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Ale jak podstawisz n+1 to teza indukcyjna wygląda mniej więcej tak:
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}  > \frac{2}{3}+ \frac{1}{2n+3}
Z założenie wiesz, że \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n}> \frac{2}{3}+  \frac{1}{2n+1}- \frac{1}{n}
czyli:
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}  > \frac{2}{3}+  \frac{1}{2n+1}- \frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}
Pozostaje pokazać, że
\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}> \frac{1}{n}+ \frac{1}{2n+3}
Co jest równoważne temu, że (ale przeliczałem to w nocy, więc może być pomyłka)
(3n+2)(4n^2-3)>0
Co jest prawdą dla n \ge 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2010, o 06:45 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
smigol napisał(a):
Ale jak podstawisz n+1 to teza indukcyjna wygląda mniej więcej tak:
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}  > \frac{2}{3}+ \frac{1}{2n+3}
Z założenie wiesz, że \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n}> \frac{2}{3}+  \frac{1}{2n+1}- \frac{1}{n}
czyli:
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}  > \frac{2}{3}+  \frac{1}{2n+1}- \frac{1}{n}+\frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}
Pozostaje pokazać, że
\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}> \frac{1}{n}+ \frac{1}{2n+3}
Co jest równoważne temu, że (ale przeliczałem to w nocy, więc może być pomyłka)
(3n+2)(4n^2-3)>0
Co jest prawdą dla n \ge 1.


Może źle liczę, ale wygląda mi na to, że po przekształceniach otrzymujemy -2 n^{3} -3n>0
Powiem więcej, nawet jak optymistycznie powiększyłem \frac{1}{2n+2} do \frac{1}{2n+1}, to nierówność dalej nie była spełniona dla wyższych n :cry:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2010, o 12:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Racja, źle wymnożyłem.

Jesteś pewien, że ta nierówność nie powinna wyglądać tak:
\frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n} > \frac{2}{3}
?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2010, o 14:29 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
smigol napisał(a):
Racja, źle wymnożyłem.

Jesteś pewien, że ta nierówność nie powinna wyglądać tak:
\frac{1}{n+1} +...+\frac{1}{2n} > \frac{2}{3}
?

Niestety tak, zresztą udowodniliśmy to na kilka sposobów, tylko z indukcji nikt nie potrafił, a jest to podobno możliwe.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - nierówność  FEMO  3
 indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 2  matematix  2
 Indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 3  Fajken  1
 Indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 5  Johny94  5
 Indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 6  NewTone  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl