szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2010, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że dla każdego n należącego do naturalnych liczba postaci \frac{n^3}{6} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{3} jest liczbą całkowitą

Dla n_{0} = 1 wzór zachodzi
Założenie indukcyjne \frac{k^3}{6} + \frac{k^2}{2} + \frac{k}{3}=6c  \Leftrightarrow 
k(k+1)(k+2)=6c  \Leftrightarrow (k+1)(k+2)=\frac{6c}{k}, gdzie c jest liczbą całkowitą, a lewa strona równości jest zawsze dodatnie i nigdy nie jest 0

Texa \frac{(k+1)^3}{6} + \frac{(k+1)^2}{2} + \frac{k+1}{3}=6c
i po dłuższych przekształceniach doszedłem do
(k+1)(k+2)(k+3)=6c  \Leftrightarrow (k+1)(k+2)=\frac{6c}{k+1} i z założenia indukcyjnego otrzymałem fałsz
\frac{6c}{k} \neq \frac{6c}{k+1}

czy jest to dobrze rozwiązane ???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2010, o 23:52 
Administrator

Posty: 22904
Lokalizacja: Wrocław
Po pierwsze, źle zapisujesz tezę. Jak już, to \frac{k^3}{6} + \frac{k^2}{2} + \frac{k}{3}=c.
Po drugie, jeżeli w tezie indukcyjnej wpiszesz to samo c, to z cała pewnością wyjdzie Ci sprzeczność, to widać od razu bez liczenia.
Po trzecie, wychodzi Ci sprzeczność, a Ty pytasz się, czy rozwiązanie jest dobre. Na jakiej podstawie?
Po czwarte, po co robić indukcyjnie zadanie, którego rozwiązanie zajmuje trzy linijki bez indukcji:

Mamy
\frac{n^3}{6} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}
Ponieważ n, n+1, n+2 to trzy kolejne liczby naturalne, to jedna z nich musi być podzielna przez 3 i przynajmniej jedna - przez 2. Wobec tego ich iloczyn jest podzielny przez 6, co kończy dowód.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2010, o 23:59 
Korepetytor

Posty: 1831
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Jan Kraszewski, oczywiście rozwiązanie przy pomocy indukcji jest dłuższe niż z użyciem przekształcenia wyrażenia do postaci iloczynowej, ale jest także możliwe do wykonania dla osoby, która nie zna delty. Dlatego też sądzę, że jedna i druga metoda ma swoje wady i zalety. A jeśli już się upieramy co do indukcji, to sam miałem pewien czas temu problem z tym zadaniem, więc odsyłam:
174309.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 09:03 
Administrator

Posty: 22904
Lokalizacja: Wrocław
Jak ktoś słyszał o indukcji, to zazwyczaj zna deltę...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 11:52 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Warszawa
@Jan Kraszewski - nikt nie musi być matematycznym orłem, mógł mieć inne zainteresowania niż matematyka itd, ale nie zamierzam się tutaj z nikim przerzucać żadnymi górnolotnymi dywagacjami, które tutaj przedstawiłeś, odgórnie zakładając, że jeśli Ty coś znasz to pewnikiem zna to każdy poza Tobą

@Marcinek665, co by już nie odświeżać tamtego tematu, który mi podałeś, to dziękuję tutaj :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 12:54 
Korepetytor

Posty: 1831
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Jan Kraszewski napisał(a):
Jak ktoś słyszał o indukcji, to zazwyczaj zna deltę...

JK


Jestem najlepszym przykładem, że niekoniecznie tak musi być :)
Ale nie będę już robił więcej offtopicu.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 14:42 
Administrator

Posty: 22904
Lokalizacja: Wrocław
mediatoreczek napisał(a):
@Jan Kraszewski - nikt nie musi być matematycznym orłem, mógł mieć inne zainteresowania niż matematyka itd, ale nie zamierzam się tutaj z nikim przerzucać żadnymi górnolotnymi dywagacjami, które tutaj przedstawiłeś, odgórnie zakładając, że jeśli Ty coś znasz to pewnikiem zna to każdy poza Tobą

Nigdzie czegoś takiego nie stwierdziłem. Z zasady bardzo rzadko zakładam coś odgórnie.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 okreslenie znaku nierownosci  arigo  7
 indukcja-dwie nierownosci  Anonymous  1
 Przeprowadź dowód indukcyjny nierówności  Anonymous  15
 Dowod indukcyhjny nierownosci.  pavlo4  2
 Nierównosci - udowodnic indukcyjnie.  gosiunia1234  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl