szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 10:04 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Wrocław
Witajcie, mam problemy z zadaniami typu rozróżnić czy funkcja jest injekcją czy surjekcją, czy mógłbym prosić, aby ktoś na poniższym przykładzie wytłumaczył łopatologicznie jak to zrobić,. z góry dziękuje. Oto przykład:

a)
R^{2} \rightarrow R;
f(x) = (2x, x+7)


I zadanie ma podpunkt
b) Znajdź f[[0,1]],  f^{-1}[[0,1]x[0,1]]


Z góry dziękuje za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 13:52 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
Robson1416 napisał(a):
Witajcie, mam problemy z zadaniami typu rozróżnić czy funkcja jest injekcją czy surjekcją

Te dwa pojęcia odnoszą się do dwóch róznych własności funkcji, więc ich stwierdzenie w konkretnym przypadku wydaje się być nietrudne.
Funkcja może być injekcją i nie być surjekcją, może nie być injekcją i być surjekcją, amoże być tym i tym -wtedy nazywa się bijekcją.
W tej funkcji chyba powinna być zamieniona dziedzina ze zbiorem wartości, więc f:R \rightarrow R^{2};f(x) = (2x, x+7).
Funkcja nie jest surjekcją, bo np. nie istnieje x \in R, takie że f(x)=(0,0).Funkcja jest iniekcją, co wynika z definicji równości wektorów (par uporządkowanych).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 14:28 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Wrocław
JankoS napisał(a):
Robson1416 napisał(a):
Witajcie, mam problemy z zadaniami typu rozróżnić czy funkcja jest injekcją czy surjekcją

Te dwa pojęcia odnoszą się do dwóch róznych własności funkcji, więc ich stwierdzenie w konkretnym przypadku wydaje się być nietrudne.
Funkcja może być injekcją i nie być surjekcją, może nie być injekcją i być surjekcją, amoże być tym i tym -wtedy nazywa się bijekcją.
W tej funkcji chyba powinna być zamieniona dziedzina ze zbiorem wartości, więc f:R \rightarrow R^{2};f(x) = (2x, x+7).
Funkcja nie jest surjekcją, bo np. nie istnieje x \in R, takie że f(x)=(0,0).Funkcja jest iniekcją, co wynika z definicji równości wektorów (par uporządkowanych).


Dzięki, czyli w skrócie funkcja jest Surjekcją, jeśli można wziąć taki x, który da punkt (0,0)
a może Janko, wiesz jak zrobić podpunkt b ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 18:18 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Dzięki, czyli w skrócie funkcja jest Surjekcją, jeśli można wziąć taki x, który da punkt (0,0)

Nigdy w życiu!

Surjekcją jest wtedy, gdy każdy element przeciwdziedziny jest wartością funkcji.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Wrocław
Robson1416 napisał(a):
JankoS napisał(a):
Robson1416 napisał(a):
Witajcie, mam problemy z zadaniami typu rozróżnić czy funkcja jest injekcją czy surjekcją

Te dwa pojęcia odnoszą się do dwóch róznych własności funkcji, więc ich stwierdzenie w konkretnym przypadku wydaje się być nietrudne.
Funkcja może być injekcją i nie być surjekcją, może nie być injekcją i być surjekcją, amoże być tym i tym -wtedy nazywa się bijekcją.
W tej funkcji chyba powinna być zamieniona dziedzina ze zbiorem wartości, więc f:R \rightarrow R^{2};f(x) = (2x, x+7).
Funkcja nie jest surjekcją, bo np. nie istnieje x \in R, takie że f(x)=(0,0).Funkcja jest iniekcją, co wynika z definicji równości wektorów (par uporządkowanych).


Dzięki, czyli w skrócie funkcja jest Surjekcją, jeśli można wziąć taki x, który da punkt (0,0)
a może Janko, wiesz jak zrobić podpunkt b ?


Hmmm... no to nie zabardzo rozumiem, można prosić o wytłumaczenie na podanym przeze mnie przykładzie ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 21:35 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Na podanym przez Ciebie przykładzie zrobił to JankoS.

Jeszcze raz. Skoro funkcja
Cytuj:
Surjekcją jest wtedy, gdy każdy element przeciwdziedziny jest wartością funkcji.

to nie jest surjekcją, gdy wskażesz choćby jeden element przeciwdziedziny, który nie jest wartością funkcji. JankoS właśnie taki element wskazał (warto byłoby jeszcze umieć uzasadnić, dlaczego (0,0) nie może być wartością Twej funkcji, ale to nie jest trudne).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Na podanym przez Ciebie przykładzie zrobił to JankoS.

Jeszcze raz. Skoro funkcja
Cytuj:
Surjekcją jest wtedy, gdy każdy element przeciwdziedziny jest wartością funkcji.

to nie jest surjekcją, gdy wskażesz choćby jeden element przeciwdziedziny, który nie jest wartością funkcji. JankoS właśnie taki element wskazał (warto byłoby jeszcze umieć uzasadnić, dlaczego (0,0) nie może być wartością Twej funkcji, ale to nie jest trudne).

JK


Tak, dziękuje podpunkt a już można powiedzieć, rozgryzłem. Ale co z podpunktem b, jak się za to zabrać
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 22:02 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Z definicji. Masz

f[[0,1]]=\{f(x):x\in[0,1]\}=\{(x,2x+7):x\in[0,1]\}.

Zatem Twój obraz jest podzbiorem płaszczyzny, a dokładniej fragmentem wykresu funkcji liniowej.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Z definicji. Masz

f[[0,1]]=\{f(x):x\in[0,1]\}=\{(x,2x+7):x\in[0,1]\}.

Zatem Twój obraz jest podzbiorem płaszczyzny, a dokładniej fragmentem wykresu funkcji liniowej.

JK


I to tyle jeśli chodzi o podpunkt b ? Tak, teraz to w pełni rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 22:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1599
Lokalizacja: Łódź
Z b) jeszcze to f^{-1}([0,1]\times[0,1]).

Układ nierówności 0 \le 2x \le 1 \wedge 0 \le x+7 \le 1 nie ma rozwiązań czyli f^{-1}([0,1]\times[0,1])=\emptyset

Jan Kraszewski napisał(a):
Z definicji. Masz

f[[0,1]]=\{f(x):x\in[0,1]\}=\{\underline{(x,2x+7)}:x\in[0,1]\}.

Zatem Twój obraz jest podzbiorem płaszczyzny, a dokładniej fragmentem wykresu funkcji liniowej.

JK

Trochę zmieniona wyjściowa funkcja ;) Powinno być (2x,x+7). Dokładnie ten obraz to odcinek [(0,7),(1,9)]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 22:52 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
fon_nojman napisał(a):
Jan Kraszewski napisał(a):
Z definicji. Masz

f[[0,1]]=\{f(x):x\in[0,1]\}=\{\underline{(x,2x+7)}:x\in[0,1]\}.

Zatem Twój obraz jest podzbiorem płaszczyzny, a dokładniej fragmentem wykresu funkcji liniowej.

Trochę zmieniona wyjściowa funkcja ;) Powinno być (2x,x+7). Dokładnie ten obraz to odcinek [(0,7),(1,9)]

Dzięki za czujność, tak to jest, jak pisze się z pamięci. Choć zapis [(0,7),(1,9)] jest nieco niestandardowy, a odcinek niezbyt poprawny...
Chodzi o odcinek o końcach (0,7) i (2,8).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2010, o 23:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1599
Lokalizacja: Łódź
Oczywiście :) poprawiłem wzór a później sam na zły patrzyłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2010, o 11:28 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Wrocław
Co do mojego przykładu wcześniejszego czy w ten sposób mogę sprawdzić, że funkcja jest Injekcją ?:

\left(2x,x+7 \right)=\left( 2u+v+7\right)  \Leftrightarrow   2x = 2u  \wedge x+7 = v+7  \Leftrightarrow x=u  \wedge x=v  \Leftrightarrow (x,x) = (u,v)

Dziękuje za pomoc , więc mam drugi przykład spróbuje go rozwiązać i proszę o ewentualne korekty.

f : \mathbb R ^{2}   \rightarrow \mathbb R f\left(x,y \right)=2x+y.

Rozwiązujemy Czy jest Injekcją czy Surjekcją

Nie będzie Injekcją, ponieważ f\left( 3,1\right) = f\left( 4,3\right) - kontr przykład albo dowód:

\left(2x+y\right) = \left(2u+v\right)  \Leftrightarrow 2x + y = 2u + v  \Leftrightarrow x = v  \wedge y = u

Sprawdźmy czy funkcja jest Surjekcją:
I tutaj mam problem, bo nie wiem jak dla tego przykładu to zrobić ...

Odwiedziłem ten temat: http://www.matematyka.pl/100133.htm
Tam w 2 poście Lorek rozwiązał w szybki sposób że f. nie jest surekcją, czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć w jaki sposób on to zrobił. Zapis rozumiem że dla funkcji f(x,y) istnieje takie x i y

teraz podpunkt b do tego zadanka:

f[[0,1]x[0,1]] oraz
,  f^{-1}[0,1]

Najpierw

f[[0,1]x[0,1]]

Obliczamy

0  \le 2x+y \le 1

czyli f([0,1]\times[0,1])=\emptyset - brak rozwiązań

Kolejna częśc:

f^{-1}[0,1]

f [[0,1]] = \left\{ f(x,y): x,y  \in [0,1]\right\}  = \left\{ 2x + y : x,y \in (0,1)\right\}

Prawdopodobnie, chociaż niewiem czy zrobiłem to poprawnie będą 4 punkty o wsp (0,0; 1,0; 2,0; 3,0; 4,0)

Proszę o sprawdzenie i o uwagi, z góry dziękuje i Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2010, o 12:09 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
Robson1416 napisał(a):
Nie będzie Injekcją, ponieważ f\left( 3,1\right) = f\left( 4,3\right) - kontr przykład albo dowód:

Kontrprzykład wystarczy.
Cytuj:
Sprawdźmy czy funkcja jest Surjekcją:

Niech a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Sprawdzamy czy istnieje taka para (x,y), że f(x,y)=a czyli czy istnieje taka para (x,y), że 2x+y=a.Ostatnie równanie ma rozwiązana, a więc funkcja jest na R (wielość rozwiązań potwierdza, że w kontrprzykładzie nie było błędu).
Cytuj:
Obliczamy 0  \le 2x+y \le 1

To jest źle policzone. Funkcja jest określona na całej płaszczyźnie, a więc obraz niepustegp pdzbioru płaszczyzny nie może być zbiorem pustym.
Już nie będę cytował.
Przeciwobrax też jest źle. Aby go wyznaczyć rozwiązujemy układ
0 \le 2x+y \le 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2010, o 12:46 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Wrocław
JankoS napisał(a):
Robson1416 napisał(a):
Nie będzie Injekcją, ponieważ f\left( 3,1\right) = f\left( 4,3\right) - kontr przykład albo dowód:

Kontrprzykład wystarczy.
Cytuj:
Sprawdźmy czy funkcja jest Surjekcją:

Niech a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Sprawdzamy czy istnieje taka para (x,y), że f(x,y)=a czyli czy istnieje taka para (x,y), że 2x+y=a.Ostatnie równanie ma rozwiązana, a więc funkcja jest na R (wielość rozwiązań potwierdza, że w kontrprzykładzie nie było błędu).
Cytuj:
Obliczamy 0  \le 2x+y \le 1

To jest źle policzone. Funkcja jest określona na całej płaszczyźnie, a więc obraz niepustegp pdzbioru płaszczyzny nie może być zbiorem pustym.
Już nie będę cytował.
Przeciwobrax też jest źle. Aby go wyznaczyć rozwiązujemy układ
0 \le 2x+y \le 1.


Czyli podsumowując moje wypociny :P. Przy surjekcji 2x + y = a tzn, że a jest dowolną liczbą i jest wiele takich punktów?

Więc rozwiązałem układ i rozwiązanie to y \ge -2x oraz y  \le 1 - 2x
Na wykresie obszar rozwiązania to obszar pomiędzy funkcjami oczywiście łącznie z nimi. Czy mógłbyś poprawić teraz moje błędy jak to powinno być zrobione porządnie ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy funkcja jest surjekcją? - zadanie 2  kalwi  26
 Zbadaj czy funkcja jest surjekcją  oleander2  6
 Injekcja i surjekcja funkcji.  pulikowski  5
 Surjekcja i injekcja  Bonkers  3
 Czy funkcja jest injekcją, surjekcją? Przekształć w bijekcję  Arcz88  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl