szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2010, o 17:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 202
Lokalizacja: Polska
Udowodnij,że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość:\left(1- \frac{4}{1}  \right) \left( 1- \frac{4}{9} \right)...\left( 1- \frac{4}{\left( 2n-1\right) ^{2} } \right)= \frac{1+2n}{1-2n}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2010, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 158
Lokalizacja: Szczytno/3Miasto
1. dla n=1 - podstawiasz, jest ok.
2. Zakładasz, że wzór spełniony jest dla dowolnego n, czyli
\left(1- \frac{4}{1}  \right) \left( 1- \frac{4}{9} \right)...\left( 1- \frac{4}{\left( 2n-1\right) ^{2} } \right)= \frac{1+2n}{1-2n}
3. Udowadniasz tezę dla n+1, czyli
\left(1- \frac{4}{1}  \right) \left( 1- \frac{4}{9} \right)... \left( 1- \frac{4}{\left( 2n-1\right) ^{2}}\right) \left( 1- \frac{4}{\left( 2(n+1)-1\right) ^{2} } \right)= \frac{1+2(n+1)}{1-2(n+1)}

Korzystasz ze swojego założenia z pkt 2. i podstawiasz do tezy:
\frac{1+2n}{1-2n}\left( 1- \frac{4}{\left( 2(n+1)-1\right) ^{2} } \right) = \frac{1+2n}{1-2n}\left( 1- \frac{4}{\left( 2n+2-1\right) ^{2} } \right) = \frac{1+2n}{1-2n}\left( 1- \frac{4}{\left( 2n+1\right) ^{2} } \right) = \frac{1+2n}{1-2n} - \frac{4}{(1+2n)(1-2n)} = \frac{(1+2n)^2 - 4}{(1+2n)(1-2n)} = \frac{(1+2n-2)(1+2n+2)}{(1+2n)(1-2n)} = \frac{(2n-1)(2n+3)}{(1+2n)(1-2n)} = -\frac{(1-2n)(2n+3)}{(1+2n)(1-2n)} = -\frac{2n+3}{2n+1} = \frac{2n+2+1}{-2n-2+1} = \frac{1+2(n+1)}{1-2(n+1)}

c.n.d.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód przez indukcję  rubik1990  2
 dowód przez indukcję - zadanie 2  anetaaneta1  0
 dowod przez indukcje - zadanie 2  scottek  1
 Dowód przez indukcję - zadanie 4  Chromosom  1
 Dowód przez indukcję - zadanie 5  dwukwiat15  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl