szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 lis 2010, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 167
Lokalizacja: Polska
Uzasadnij, że liczba \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +  \frac{1}{4} + ... +  \frac{1}{2004} \right)  \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2004 jest podzielna przez 2005
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2010, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 518
Lokalizacja: Kluczewsko
\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2004} \right) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2004 =  \sum_{i=1}^{2004} \left( \frac{2004!}{i}\right) \\ \frac{2004!}{5} = 10x \\ \frac{2004!}{401} = 802y \\  \sum_{i=1}^{2004} \left( \frac{2004!}{i}\right) = 5 \cdot 401 \cdot z
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2010, o 21:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2004} \right) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2004 = \sum_{i=1}^{2004} \left( \frac{2004!}{i}\right)
OK.
\frac{2004!}{5} = 10x
OK.
\frac{2004!}{401} = 802y
OK.

Ale jak mamy jakąś sumę x+y+z i wiemy, że 5|x, 10|y to skąd wiemy, że 50|x+y+z?
Dlatego też \sum_{i=1}^{2004} \left( \frac{2004!}{i}\right) = 5 \cdot 401 \cdot z nie jest OK (to znaczy jest,a le nie wynika z powyższych rozważań).

Trzeba pokazać, że każda z liczb \frac{2004!}{i} dla i=1,2,...,2004 jest podzielna zarówno przez 5 jaki przez 401, a to jakoś specjalnie ciężkie nie jest.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 lis 2010, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 167
Lokalizacja: Polska
niestety nie rozumiem tego, co napisaliście, jestem w 3 gimnazjum
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2010, o 21:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Można spróbować udowodnić indukcyjnie:

2n+1| (2n)!  \left(\sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{i} \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2010, o 21:58 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Trzeba pokazać, że każda z liczb \frac{2004!}{i} dla i=1,2,...,2004 jest podzielna zarówno przez 5 jaki przez 401, a to jakoś specjalnie ciężkie nie jest.

A 2004! to po prostu 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 2003 \cdot 2004
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lis 2010, o 02:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 220
Lokalizacja: Kraków
Myślę, że na poziomie gimnazjalnym - wymaganym na konkursie kuratoryjnym, bo takowe zadanka tam czasami są - wystarczy pokazać, że w liczbie \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2004} \right) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2004 po nawiasie jest iloczyn kolejnych czynników, w skład których wchodzą liczby dające po wymnożeniu nasze 2005, chodzi oczywiście o 5 oraz 401. Skoro cały iloczyn dzieli się przez 2005, to i cała liczba dzieli się przez 2005.

BTW podobne zadanie było w którymś roku w małopolsce, wystarczyło je tak rozpisać, aby uzyskać maksa. Nie jest to bynajmniej kozackie rozwiązanie, ale na konkursach szkolnych "ujdzie".
Pozdrawiam Lidka95. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2010, o 11:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6485
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Liczba 5 występuje w rozkładzie silni

400+80+16+3 razy

a liczba 401 występuje w rozkładzie silni

4 razy

a wystarczy aby liczba 5 występowała pięć razy a liczba 401 dwa razy
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2010, o 15:00 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
mariolawiki1 napisał(a):
Myślę, że na poziomie gimnazjalnym - wymaganym na konkursie kuratoryjnym, bo takowe zadanka tam czasami są - wystarczy pokazać, że w liczbie \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2004} \right) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2004 po nawiasie jest iloczyn kolejnych czynników, w skład których wchodzą liczby dające po wymnożeniu nasze 2005, chodzi oczywiście o 5 oraz 401. Skoro cały iloczyn dzieli się przez 2005, to i cała liczba dzieli się przez 2005.


Ja za takie rozw. bym dał 0, bo zasadniczo to nawet nie napisaliśmy, że po wymnożeniu nawiasu będziemy mieć liczbę całkowitą, a co dopiero do podzielności nam dojść, przecież niektóre czynniki 'znikają'...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2010, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 518
Lokalizacja: Kluczewsko
smigol napisał(a):
Trzeba pokazać, że każda z liczb \frac{2004!}{i} dla i=1,2,...,2004 jest podzielna zarówno przez 5 jaki przez 401, a to jakoś specjalnie ciężkie nie jest.

no ale to dlatego wybrałem 5 i 401 bo reszta zawiera w sobie ten składnik...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2010, o 19:08 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
exupery, nie uwierzysz, ale domyśliłem się, że prawdopodobnie o to Ci chodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2010, o 19:13 
Użytkownik

Posty: 518
Lokalizacja: Kluczewsko
znaczy powiem inaczej, chodziło mi dokładniej o zapis, że to nie wynika z powyższych rozważań, co jest oczywiście prawdą bo zabrakło mi słowa komentarza, ale raczej chciałem dać drogę rozwiązania niż je całe, ale masz absolutną rację powinienem powiedzieć, że to nie jest wszystko :oops:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2010, o 19:33 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
exupery napisał(a):
znaczy powiem inaczej, chodziło mi dokładniej o zapis, że to nie wynika z powyższych rozważań, co jest oczywiście prawdą bo zabrakło mi słowa komentarza, ale raczej chciałem dać drogę rozwiązania niż je całe, ale masz absolutną rację powinienem powiedzieć, że to nie jest wszystko :oops:

Chodziło mi o to, że osoby, które miały styczność z dowodzeniem podzielności etc. zorientują się o co chodzi, a jak ktoś dopiero rozpoczyna, to może uznać, że to już cały dowód i po ptakach, a post wyglądał jak kompletne rozwiązanie ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl