szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lis 2006, o 10:59 
Użytkownik

Posty: 5484
Lokalizacja: Kraków
4(h_a^2 + h_b^2+h_c^2) \leq (a+b+c)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2006, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Mamy oczywiście dla i \in {a,b,c}:

S=\frac{h_{i}i}{2}

A stąd dla i \in {a,b,c}:

h_{i}=\frac{2S}{i} (1)

Wykorzystując równość (1):

4(h_a^2 + h_b^2+h_c^2)=16S^{2}(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})

A stąd ze wzoru Herona:


4(h_a^2 + h_b^2+h_c^2)=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})

Zatem nierówność dana w zadaniu przyjmuje postac:

(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) \leq a+b+c

Poniewaz a,b,c są bokami trójkąta to istnieja takie liczby dodatnie x,y,z że

a=x+y
b=y+z (2)
c=x+z.

Łatwo dowieść tego faktu wpisując w trójkąt okrąg i pamiętając że styczne wychdzące z tego samego punktu są równe. (odcinki łączące punkt z punktem sytczności)

Podstawiając do nierówności równości (2), pozostaje udowodnic, że dla każdych rzeczywistych dodatnich x,y,z zachodzi:

4xyz(\frac{1}{(x+y)^{2}} + \frac{1}{(y+z)^{2}} + \frac{1}{(y+z)^{2}}) \leq x+y+z

Bardzo elegancki dowód tej prostej nierówności znalazł dziś Marcin88 i z chęcią wam pokaże ;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2006, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 5484
Lokalizacja: Kraków
MarcinT napisał:
Cytuj:
Bardzo elegancki dowód tej prostej nierówności znalazł dziś Marcin88 i z chęcią wam pokaże ;

oj to super, a czyżby ten trick...(trzy nierownosci dodane stronami, 2p- to obwod)? czy coś innego....
h_a^2 \leq p(p-a)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2006, o 12:53 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Krosno Odrzańskie
Zachodzi oczywiście: \frac{1}{(x+y)^2}\leq \frac{1}{4xy}
i na podstawie tego od razu widać prawdziwość nierówności:
4xyz(\frac{1}{(x+y)^{2}} + \frac{1}{(y+z)^{2}} + \frac{1}{(y+z)^{2}}) \leq x+y+z
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2006, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 5484
Lokalizacja: Kraków
Podoba mi sie. Szybko i elegancko :razz: :idea: :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 nierówność w trójkącie  setch  2
 Nierównosc w trójkacie  mol_ksiazkowy  0
 nierówność w trójkącie - zadanie 5  darek20  1
 nierówność w trójkącie - zadanie 6  darek20  0
 nierównosc w trójkacie - zadanie 2  darek20  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl