szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 197
Lokalizacja: Puck
Wykaż że dla każdego naturalnego n liczba n^{3} + 5n jest podzielna przez 6.

Wiem jak wykazać podzielność przez 3, ale za nic nie moge wymyśleć jak wykazać że przez 6?
Wiem że 2*3, ale nie wiem jak do tego dojść
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 394
Lokalizacja: HRUBIESZÓW
to się nazywa indukcja matematyczna

polecam taką książeczkę

Matematyka korepetycje - 3

jak Mi podasz maila to Ci wrzucę
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6485
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
DemoniX, sprawdzasz czy twierdzenie jest spełnione dla zera
zakładasz że jest prawdziwe dla n i sprawdzasz czy jest prawdziwe dla
następnika n (n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:07 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Indukcja indukcją, a ładna matematyka musi być po naszej stronie.
n^3+5n=n^3-n+6n=(n-1)n(n+1)+6n
6n oczywiście dzieli się przez 6
(n-1)n(n+1) też, jako iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.
Czyli (n-1)n(n+1)+6n dzieli się przez 6 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:07 
Użytkownik

Posty: 520
Lokalizacja: Warszawa
Indukcyjnie. Zakładasz że n^{3}+5n=6k i pokazujemy dla n+1: (n+1)^{3}+5(n+1)=(n^{3}+5n)+3n(n+1)+6=6(k+1)+3n(n+1). Teraz wystarczy zauważyć że n(n+1) jest podzielne przez dwa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Po co od razu do komara z armaty walić ? :D Przecież jak się da, to lepiej szybciej zrobić dane zadanie, nie korzystając z indukcji, tak jak napisał @Smigol

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 520
Lokalizacja: Warszawa
No oczywiście że można tak. Nie zauważyłem tego. Ale chyba nie ma o co się czepiać. Przyznam że jego rozwiązanie jest bardziej eleganckie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6485
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Ma odejmowanie i przez to jeden czynnik jest ujemny ale i tak iloczyn się zeruje więc od biedy może być

Załóżmy że masz do dyspozycji tylko liczby naturalne (inne nie istnieją)
Korzystasz z odejmowania a więc możesz otrzymać liczbę która nie należy do
liczb naturalnych (taki niezdefiniowany obiekt) i żeby wszystko było w porządku musisz założyć
że zachowuje się on przy mnożeniu przez zero jak liczba naturalna
Dlatego to rozwiązanie nie jest tak eleganckie jak by się mogło wydawać
a zatem indukcja jest lepszym pomysłem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:21 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Ja nie rozumiem o co Ci chodzi z tym czynnikiem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2010, o 23:27 
Użytkownik

Posty: 197
Lokalizacja: Puck
Dziękuję za duże zainteresowanie i szybką odpowiedź ;)))
Slawek: proszę jopaw13@o2.pl
przyda się ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2010, o 08:20 
Użytkownik

Posty: 394
Lokalizacja: HRUBIESZÓW
Nie ma sprawy ten kurs indukcji bardzo Ci ułatwi życie
a takie zadania okażą się dla Ciebie bardzo łatwe

-- 23 lis 2010, o 09:58 --

A tak to się robi z indukcji

Mamy udowodnić że n^{3} + 5n|6


Rozwiązanie:

I krok indukcji: niech n=1

1^3+5 \cdot 1=6

co jest podzielne przez 6 więc prawda.

II krok indukcji:
niech n=k+1
\left(k+1\right)^3+5(k+1)

-- 23 lis 2010, o 10:03 --

k^3+3k^2+3k+1+5k+5

\left( k^3+5k\right) +\left( 3k^2+3k\right) +6

więc \left( k^3+5k\right) jest podzielne przez 6 na podstawie 1 kroku

\left( 3k^2+3k\right) jest podzielne przez 6 (wstaw np. 1 lub 2)

6 jest podzielne przez 6

zatem

\left( k^3+5k\right) +\left( 3k^2+3k\right) +6 jest podzielna przez 6

Co kończy dowód.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż że liczba jest podzielna przez 6  happytree  3
 Wykaż że liczba jest podzielna przez 6 - zadanie 3  netsprint  1
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl