szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2010, o 00:28 
Użytkownik

Posty: 97
Lokalizacja: zmc
Dowieść że dla każdej liczby naturalnej n:
25|2^{n+2}\cdot 3^{n} + 5n -4
Proszę o pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2010, o 06:06 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: ttm
No więc dla n=1, mamy:
2^{3}  \cdot  3^{1} + 5 \cdot 1 - 4 = 25, a więc dla n=1, wartość wyrażenia jest podzielna przez 25.
Założenie indukcyjne:
25 | 2^{k+2}  \cdot  3^{k} + 5k - 4 dla k \ge 1
Dla wszystkich k prawdą jest: 25 | 25(k - 1).
Z założenia indukcyjnego mamy:
25 | 2^{k+2}  \cdot  3^{k} + 5k - 4, a więc także
25 | 6(2^{k+2}  \cdot  3^{k} + 5k - 4).
Stąd:
25 | 6(2^{k+2}  \cdot  3^{k} + 5k - 4) - 25(k - 1)
6(2^{k+2}  \cdot  3^{k} + 5k - 4) - 25(k - 1) = 
6 \cdot 2^{k+2} \cdot  3^{k} + 6 \cdot 5k - 6 \cdot 4 - 25(k - 1) = 
2 \cdot 2^{k+2} \cdot 3 \cdot 3^{k} + 30k - 24 - 25k + 25 = 
2^{k+3} \cdot 3^{k+1} + 30k - 25k - 24 + 25 = 
2^{k+3} \cdot 3^{k+1} + 5k + 5 - 4 = 
2^{(k+1)+2} \cdot 3^{k+1} + 5(k + 1) - 4
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność przez 25  fuzzgun  1
 podzielnośc przez 25  kinia888  6
 Podzielność przez 25 - zadanie 3  Anonymous  2
 podzielnosc przez 25  karka92  3
 udowodnij przez indukcje  FEMO  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl