szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2010, o 23:54 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: POLSKA
Witam! ; )
Mam problem z tym zadaniem, mam znaleźć jawną postać rozwiązania.
a) \begin{cases} mx+y=1\\x+my=-1\end{cases}

b) \begin{cases} 2x+y=m\\mx+y=2\end{cases}

c) \begin{cases} mx+my=1\\x+y=m\end{cases}

d) \begin{cases} mx+3y+3=0\\x+my=2y-1\end{cases}

Prosiłbym o pomoc, a w miarę możliwości rozwiązanie tych przykladów :) Ew. naprowadzenie na dobre rozwiązanie.
Odnosnie a) czy jest to sensowne:
x=-1-my
m(-1-my)+y=1
-m+m^2 +y=1
m^2 y +y=m+1
y(m^2 +1)=m+1
y=\frac{m+1}{m^2 +1} Tylko nie wiem czy jest to dobrze przekształcone, a jeśli tak to w jaki sposob dalej to rozwiązać i znaleźć rozwiązania?
Prosiłbym o pomoc odnosnie tych czterech przykładów, dziękuję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2010, o 09:33 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2059
Lokalizacja: Zamość
Spróbuj rozwiązać metodą wyznacznikową i daj odpowiednie założenia co do m.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2010, o 10:01 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: POLSKA
Czyli wyznacznik głowny będzie równy: \Delta = m^2 -1 i wtedy \Delta x = m+1, \Delta y = -2m
A wyznaczniki x,y : \frac{\Delta x}{\Delta} = \frac{m+1}{m^2 -1} = \frac{1}{m-1}
\frac{\Delta y}{\Delta} = \frac{-2m}{m^2 -1}

I teraz dla m=1 rozwiazaniem jest jedno rozwiazanie: {\frac{1}{m-1} , \frac{-2m}{m^2 -1}
a dla m \neq 0 jest brak rozwiazan? Czy poprawnie rozumuję to ? : >
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2010, o 10:07 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2059
Lokalizacja: Zamość
Sposób postępowania prawidłowy aczkolwiek są chyba błędy w obliczeniach...
Pamiętaj o założeniach w dyskusji rozwiązań.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2010, o 10:24 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: POLSKA
Czyli wyznacznik głowny jest ok.
\frac{\Delta y}{\Delta} = -\frac{1}{m-1}

I w jaki sposob mogę teraz znaleźć rozwiązania?
Jednym z założen będzie m \neq 1, tak ?
Tylko w jaki sposob mam znaleźc rozwiązanie? Jakie będize rozwiązanie dla m=1 i dla m \neq 0 ? :cry:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2010, o 10:42 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2059
Lokalizacja: Zamość
Dyskusja rozwiązań:
1) układ równań posiada rozwiązania gdy \Delta\neq 0
Zatem:
m^2-1\neq 0 \Rightarrow m\neq -1 \vee m\neq 1
Mamy więc rozwiązania:
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{1}{m-1}
x=\frac{\Delta_y}{\Delta}=-\frac{1}{m-1}
2) układ równań nie posiada rozwiązań gdy \Delta= 0
Zatem:
m^2-1= 0 \Rightarrow m= -1 \vee m= 1
3) układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań gdy \Delta=\Delta_x=\Delta_y=0
Zatem:
m=-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2010, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: POLSKA
Czy na pewno jest to poprawne rozwiązanie?
Bo wg. odpowiedzi wygląda to tak:

Dla m \neq 1 nie ma rozwiązań, dla m=1 jedno rozwiązanie (-\frac {1}{1-m} , \frac{1}{1-m})

I jeszcze jedno pytanie odnosnie b) . Wyszło mi, ze W=0 to jest brak rozwiazań i wyszlo dla m=2, ale również W=Wx=Wy=0 wyszlo dla m=2 i co w takiej sytuacji zrobic?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 gru 2010, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 388
Lokalizacja: Kraków
\begin{cases} mx+3y+3=0\\x+my=2y-1\end{cases}

\begin{cases} mx+3y+3=0\\x=-my+2y-1\end{cases}

\begin{cases} m(-my+2y-1)+3y+3=0\\x=(2-m)y-1\end{cases}

\begin{cases} -m^2y+2my-m+3y+3=0\\x=(2-m)y-1\end{cases}

\begin{cases} y(-m^2+2m+3)=m-3\\x=(2-m)y-1\end{cases}

\begin{cases} y=\frac{m-3}{-m^2+2m+3}=\frac{1}{-m-1}\\x=(2-m)y-1\end{cases}

W tym momencie przy dzieleniu założyliśmy, że m\neq -1 oraz m\neq 3.
Trzeba sprawdzić co dzieje się dla takich wartości m
1) m=-1, układ przyjmuje postać:
\begin{cases} -x+3y+3=0\\x-y=2y-1\end{cases}
dodajemy stronami.. i wychodzi równanie sprzeczne
2)m=3, układ ma postać:
\begin{cases} 3x+3y+3=0\\x+3y=2y-1\end{cases}

\begin{cases} x+y+1=0\\x+y=-1\end{cases}

jest to układ nieoznaczony

Wracając do rozwiązywania..
\begin{cases} y=\frac{1}{-m-1}\\x=(2-m)\cdot\frac{1}{-m-1}-1\end{cases}
\begin{cases} y=\frac{1}{-m-1}\\x=\frac{m-2}{m+1}-\frac{m+1}{m+1}=-\frac{3}{m+1}\end{cases}

\begin{cases} y=-\frac{1}{m+1}\\x=-\frac{3}{m+1}\end{cases}

Ja to zapisałam żeby mniej miejsca (i czasu) zajęło ale tak naprawdę w każdej linijce powinno być nie więcej niż jedno "="..
Mam nadzieję, że błędów rachunkowych nie ma.. :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2010, o 12:19 
Użytkownik

Posty: 170
Lokalizacja: POLSKA
ok, dzieki ; ) ale nadal nurtuje mnie to co napisalem wyzej, Wyszło mi, ze W=0 to brak rozwiazań i wyszlo dla m=2, ale również W=Wx=Wy=0 wyszlo dla m=2 i co w takiej sytuacji zrobic? Czy jest to blad rachunkowy czy źle założylem poprzednio jakieś założenia?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 gru 2010, o 17:24 
Użytkownik

Posty: 388
Lokalizacja: Kraków
Dla przykładu b)
\begin{cases} 2x+y=m\\mx+y=2\end{cases}

W=2-m,\ W_x=m-2,\ W_y=4-m^2

Dla m=2 W=W_x=W_y=0, czyli układ jest nieoznaczony tzn. rozwiązaniem jest każda para:
\begin{cases} x=t \\ y=2-2t\end{cases} t\in\mathbb{R}
Poza tym:
\begin{cases} x=-1 \\ y=2+m\end{cases} m\neq 2
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż układ równań  Anonymous  1
 (2 zadania) Układ równań. Wyznacz wartość parametru  Anonymous  2
 (3 zadania) Dyskusja nierówności oraz układu. Rozwiąż  Anonymous  3
 (3 zadania) Rozwiąż układy równań  truskafka  3
 Sprawdź czy pary liczb są rozwiązaniami układu równań  Anonymous  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl