szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2010, o 19:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 210
Lokalizacja: sprzed monitora
Wykazać, że jeśli
f:R \rightarrow R  \wedge f(x-a)+f(x)+f(x+a)=0, a \neq 0 to funkcja f jest okresowa.

Jak to zrobić?
Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2010, o 19:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
f(x-a)+f(x)+f(x+a)=0

\begin{cases} f(x-2a)+f(x-a)+f(x)=0\\ f(x)+f(x+a)+(f+2a)=0 \end{cases}

Dodajemy obustronnie:

f(x-2a)+f(x-a)+2f(x)+f(x+a)+f(x+2a)=0

Teraz korzystamy z tego, że f(x-a)+f(x)+f(x+a)=0

f(x-2a)+f(x)+f(x+2a)=0

Teraz z 1 równania w układzie równań mamy:

f(x-2a)+f(x)=-f(x-a)

Tak więc po podstawieniu mamy:

f(x+2a)=f(x-a)

f(x+3a)=f(x)

cnd.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2010, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Domyślam się, że ta równość jest spełniona dla dowolnego x. Podstawmy więc w niej x \to x+a, otrzymamy:
f(x)+f(x+a)+f(x+2a)=0
Jeśli teraz odejmiemy to stronami od wyjściowej równości, to dostaniemy:
f(x-a)=f(x+2a)
czyli
f(x)=f(x+3a)
czyli koniec.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2010, o 19:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 210
Lokalizacja: sprzed monitora
Dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl