szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2010, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 874
Lokalizacja: wszedzie
Niech ABC bedzie trójkątem ostrokątnym i K punktem wewnątrz tego trójkąta oraz \angle BAK=\alpha, \angle CBK=\beta, \angle ACK=\gamma. Pokaż że

\ctg^2 \alpha+\ctg^2 \beta+\ctg^2 \gamma>3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2010, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
geogebra podpowiada mi, że któryś z kątów \alpha, \beta, \gamma jest mniejszy lub równy \frac{\pi}{6}, a stąd wynika teza
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2010, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 874
Lokalizacja: wszedzie
a teraz formalniej 8-)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2010, o 19:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
wystarczy pokazać, że któryś z kątów \alpha, \beta, \gamma jest równy co najwyżej \frac{\pi}{6}, gdyż jeśli np. \alpha \le \frac{\pi}{6} to \ctg^2 \alpha+\ctg^2 \beta+\ctg^2 \gamma > \ctg ^2 \alpha \ge \ctg ^2 \frac{\pi}{6} = 3

Jeśli któryś z kątów \angle A, \angle B, \angle C jest mniejszy lub równy \frac{\pi}{6}, to któryś z kątów \alpha, \beta, \gamma jest mniejszy od \frac{\pi}{6} i mamy koniec. Załóżmy teraz, że \angle A, \angle B, \angle C > \frac{\pi}{6}. Nie wprost załóżmy że \alpha, \beta, \gamma > \frac{\pi}{6}

Z trygonometrycznego Cevy, dodatniości, rosnącości i wklęsłości funkcji sinus, AM-GM i Jensena mamy 1 = \frac{\sin(A-\alpha)}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin(B-\beta)}{\sin \beta} \cdot \frac{\sin(C-\gamma)}{\sin \gamma} < \frac{\sin(A-\frac{\pi}{6})}{\sin \frac{\pi}{6}} \cdot \frac{\sin(B-\frac{\pi}{6})}{\sin \frac{\pi}{6}} \cdot \frac{\sin(C-\frac{\pi}{6})}{\sin \frac{\pi}{6}} = 8 \sin(A-\frac{\pi}{6}) \sin(B-\frac{\pi}{6}) \sin(C-\frac{\pi}{6}) \le 8 \cdot \left( \frac{\sin(A-\frac{\pi}{6}) + \sin(B-\frac{\pi}{6}) + \sin(C-\frac{\pi}{6})}{3} \right) ^3 \le 8 \cdot \left( \sin \frac{A-\frac{\pi}{6} + B-\frac{\pi}{6} + C-\frac{\pi}{6}}{3}\right)^3 = 8 \cdot \left( \sin \frac{\pi}{6}\right)^3 = 8 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^3 = 1

Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykazanie nierówności - zadanie 69  darek20  0
 wykazanie nierówności - zadanie 43  darek20  0
 wykazanie nierówności - zadanie 49  darek20  3
 wykazanie nierówności - zadanie 72  darek20  0
 wykazanie nierówności - zadanie 47  darek20  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl