szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2010, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 408
Lokalizacja: Wrocek
Wykaż, że funkcja g(x)=x+ \frac{9}{x}dla dodatnich argumentów przyjmuje wartości nie mniejsze od 6
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2010, o 19:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Innymi słowy, wykaż, że:
x \in \mathbb{R}_+ \Rightarrow x + \frac{9}{x} > 6
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2010, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 408
Lokalizacja: Wrocek
x+\frac{9}{x}  \ge  6
tyle wiem, ale jak się za to zabrać, jakaś wskazówka ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2010, o 19:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Skoro x>0, to możesz pomnożyć obustronnie przez niego bez zmiany znaku nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 gru 2016, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Złotoryja
Temat stary jak świat, ale można by go sfinalizować, myślę. Ja też zastanawiałem się nad poprawnym rozwiązaniem i chyba takie jest najlepsze ( proszę też w sumie o ocenę ). Zatem:
- mnożę obustronnie przez x, otrzymując x^{2} - 6x + 9\geqslant 0
- delta równa 0 więc, współczynnik a dodatni więc cała f-cja przyjmuje wartości nie mniejsze od 0. ( oczywiście tylko dla x > 0

dobrze ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 gru 2016, o 13:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17532
Lokalizacja: Cieszyn
Inny wariant tego rozwiązania można otrzymać z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Jej dowód opiera się na takim samym przejściu jak powyżej.

\frac{x+\frac{9}{x}}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 gru 2016, o 17:52 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Złotoryja
no to już wyższa szkoła jazdy ;) brawo za spryt
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 gru 2016, o 17:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17532
Lokalizacja: Cieszyn
Wcale nie taka wyższa. Wykażę, że dla każdych a,b>0 mamy \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.

Istotnie, skoro \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge 0, to a+b-2\sqrt{ab}\ge 0, co jest równoważne dowodzonej nierówności.

Zauważysz tu rozumowanie, które przedstawiłeś.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż, że funkcja - zadanie 3  je?op  1
 Wykaż, że funkcja  rob1991  1
 Funkcja wymierna - nierówności.  Gambit  4
 Rozwiąż nierówność - funkcja homograficzna  judge00  2
 wyznacz współczynniki a,b i c - funkcja homograficzna  Impreshia  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl