szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2010, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 176
Siema

Mam udowodnić że dla p>0:
2^{n+2} *  3^{n} +  5n - 4
i
Dla n>=1
(n!) ^{2}  \ge  n^{n}

Z góry dziękuję za rozwiązanie. Byłbym jeszcze bardziej wdzięczny za jakiś komentarz do rozwiązania, gdyż byłem na 1 lekcji o indukcji i tak średnio to łapię.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2010, o 00:45 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Szczecin
Chyba coś Ci się pomyliło w pierwszym przykładzie? Tam nie ma nic do udowodnienia, bo nie napisałeś czemu to ma być równe albo większe od czego? Tylko wstawiłeś "coś" :)

No to zróbmy zadanko z tą silnią.

Zacznijmy po kolei, czyli zobaczmy co się dzieje gdy:

1) n=1

(1!)^{2}\geq 1^{1}\Rightarrow 1^{2}\geq 1^{1}\Rightarrow 1\geq 1
działa, ale to jest przypadek szczególny, zatem zobaczmy jeszcze czy to samo działa gdy:

2) n=2

(2!)^{2}\geq 2^{2}\Rightarrow 2^{2}\geq 2^{2}\Rightarrow 4\geq 4
nadal działa, jednak wciąż jeszcze nie udowodniliśmy, że potrzebny jest tam znak większości, zatem zobaczmy co się dzieje dla:

3) n=3
(3!)^{2}\geq 3^{3}\Rightarrow 6^{2}\geq 3^{3}\Rightarrow 36\geq 27

świetnie, czyli dla pierwszych trzech wyrazów jest spełnione, zatem pozostaje nam sprawdzić czy będzie również spełnione w przypadku:

4) n=k
(k!)^{2}\geq k^{k}

wygląda tak samo :P więc raczej dobrze, no ale sprawdźmy kolejny możliwy 'n' i dowiemy się wtedy czy tak jest w rzeczywistości:

5) n=k+1
((k+1)!)^{2}\geq (k+1)^{k+1}\Rightarrow (k!\cdot (k+1))^{2}\geq (k+1)^{k}\cdot (k+1)\Rightarrow
\Rightarrow (k!)^{2}\cdot (k+1)^{2}\geq (k+1)^{k}\cdot (k+1)|:(k+1)^{2}\Rightarrow (k!)^{2}\geq (k+1)^{k-1}

i to jest punkt w którym nagle zwątpiłem, bo widzę, że to jest prawda, ale nie wiem, czy to jest skończony dowód? Może ktoś mnie poprawić lub dokończyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2010, o 00:56 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Punkt 3) jest zbędny, punkty 4) i 5) powinny być w jednym punkcie, rozumowanie w piątym punkcie jest nieprawidłowe (i to nie dlatego, że niedokończone).

Odnośnie rozwiązania:
Dla n=1,2 nie ma czego sprawdzać. Załóżmy więc, że dla pewnego n\ge 2 jest (n!)^2 \ge n^n i pokażmy, że wówczas ((n+1)!)^2 \ge (n+1)^{n+1}.

W tym celu zauważmy najpierw, że dla n \ge 2 mamy n+1 \ge \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n (bo po prawej stronie mamy ciąg, które wyrazy są mniejsze od e, a po lewej ciąg, którego wyrazy są nie mniejsze niż trzy).

Tak więc:
((n+1)!)^2=(n!)^2\cdot (n+1)^2 \ge n^n \cdot (n+1) \cdot (n+1) \ge \\
\ge n^n \cdot  \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot (n+1) = (n+1)^n\cdot (n+1)=(n+1)^{n+1}

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij nierówność - zadanie 9  Javier  4
 Udowodnij nierówność - zadanie 10  wppt  1
 Udowodnij nierówność - zadanie 11  solarq  1
 Udowodnij nierówność - zadanie 18  rutterkin  2
 Udowodnij nierównośc - zadanie 2  Mistermasyl  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl