szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2010, o 19:27 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Witam
Zetknąłem się ostatnio z takim zadaniem i nie za bardzo mam pomysł, jak je rozgryźć:
Dana jest funkcja:
f(x)=14(x^{2}-\pi^{2})+14(x^{3}-\pi^{3})+\sin(14x)-\ln \left(  \frac{x}{\pi} \right)

Wykazać, że jej jedynym miejscem zerowym jest liczba \pi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2010, o 20:22 
Moderator

Posty: 2721
Lokalizacja: Kraków
Zbadaj monotoniczność funkcji przy użyciu pochodnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2011, o 11:48 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Podobno istnieje rozwiązanie, które nie wymaga użycia rachunku różniczkowego i całkowego. Może mógłby ktoś pomóc?

Próbowałem robić jakieś oszacowania, ale niestety ni za bardzo mi się to udało.
Czekam na pomysły :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2011, o 12:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 534
Lokalizacja: Wroclaw
Akurat wykazać że \pi jest miejscem zerowym jest łatwe

f( \pi )=0
0=14( \pi ^{2}-\pi^{2})+14( \pi ^{3}-\pi^{3})+sin(14 \cdot  \pi )-\ln \left( \frac{ \pi }{\pi} \right)
0=14 \cdot 0+14 \cdot 0+sin2520- \ln1
0=0+ sin(7 \cdot 360)-0
0=0
L=P
\pi jest miejscem zerowym

Edit: przeczytałem jeszcze raz zadanie. że jest jedynym to chyba tylko przez pochodną
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2011, o 13:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
14(x^{2}-\pi^{2})+14(x^{3}-\pi^{3})-1-\ln \left( \frac{x}{\pi} \right)  \le f(x)  \le 14(x^{2}-\pi^{2})+14(x^{3}-\pi^{3})+1-\ln \left( \frac{x}{\pi} \right)

A teraz część logarytmiczną rozwinąć w szereg Maclaurina
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2011, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Do tego, co napisał Afish w ogóle nie potrzeba rachunku całkowego. Jeśli chcesz zaś koniecznie uniknąć rachunku różniczkowego. Możesz policzyć granice na krańcach dziedziny. Pokazać, że funkcja jest różnowartościowa z definicji, tzn.

\forall x,y \in D_f \quad x \neq y \Rightarrow f\left( x\right) \neq f\left( y\right)

Ta różnowartościowość da nam monotoniczność. Jak dorzucimy ciągłość i wynikającą z niej własność Darboux zachodzącą dla tej funkcji, dostaniemy dokładnie jedno miejsce zerowe.

-- 21 lipca 2011, 14:15 --

W sumie można by od razu, po policzeniu granic udowadniać z definicji, że funkcja jest malejąca:

\forall x,y \in D_f \quad x<y \Rightarrow f\left( x\right)>f\left( y\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2011, o 13:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Różnowartościowość wcale nie jest taka oczywista

Majeskas napisał(a):
W sumie można by od razu, po policzeniu granic udowadniać z definicji, że funkcja jest malejąca:

\forall x,y \in D_f \quad x<y \Rightarrow f\left( x\right)>f\left( y\right)

Przecież funkcja nie jest malejąca:
\forall x \in D_f \ \ \ f(x)  \ge 14(x^{2}-\pi^{2})+14(x^{3}-\pi^{3})-1 -x

\lim_{x \to  \infty } 14(x^{2}-\pi^{2})+14(x^{3}-\pi^{3})-1 -x = ...?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2011, o 15:56 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Granica w +nieskończoność to +nieskończoność, natomiast prawostronna w 0 to jakaś ujemna liczba... Ale nie do końca jestem przekonany co do różnowartościowości...

Edit:
Wykres z WolframAlpha nie do końca także mnie przekonuje o różnowartościowości w okolicy zera, aczkolwiek z wykresu widać, że to jedyne rozwiązanie
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Miejsce zerowe funkcji - zadanie 6  Kinusssia  3
 Miejsce zerowe funkcji - zadanie 10  WłatcaCzesio  2
 Miejsce zerowe funkcji - zadanie 12  dirtysouth  1
 miejsce zerowe funkcji - zadanie 15  kotwworku  1
 miejsce zerowe funkcji - zadanie 17  bzyk12  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl