szukanie zaawansowane
 [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 gru 2010, o 23:49 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Cześć, mam sprawozdanie do zrobienia w którym muszę wymyślić funkcję i ją opisać.
Zacząłem próby z taką funkcją:

f(x)= \frac{x^2}{1+x}

D_{f}=R \setminus \left\{ -1\right\}

Przechodzi przez punkt (0,0) wyszło gdy liczyłem przecięcie z osią Oy.

Miejsca zerowe:
x=0   \wedge  x=-1

Granica funkcji:

\lim_{x\to+ \infty} f(x)= \frac{x^2}{1+x}=+ \infty
\lim_{x\to- \infty} f(x)= \frac{x^2}{1+x}=- \infty

\lim_{x\to -1^-} f(x)= \frac{x^2}{1+x}=+ \infty
\lim_{x\to -1^+} f(x)= \frac{x^2}{1+x}=+ \infty

Asymptoty:

Pionowa: x=-1
Pozioma: y=1
Ukośna: y=x moja praca musi zawierać asymptotę ukośną

Pierwsza pochodna funkcji:

f'(x)= \frac{x(2+x)}{(1+x)^2}

Ekstrema:

f'(x)=0
f' będzie równe zero jeżeli licznik będzie równy zero zatem:
x(2+x)=0
x=0     x=-2

Funkcja rośnie:

f'(x)= \frac{x(2+x)}{(1+x)^2}>0 mianownik jest większy od zera zatem:
x(2+x)=0
x=0   x=-2
Funkcja rośnie w przedziale x \in (- \infty ,-2) \cup (0, \infty )
Z powyższych rachunków wynika, że funkcja maleje w x \in (-2,0)


Druga pochodna:

f"(x)= \frac{2+2x}{(1+x)^4}

Punkty przegięcia:

Korzystam z warunku koniecznego f"(x)=0
2x+2=0  \Rightarrow  x=-1  \Rightarrow brak pkt. przegięcia

Wypukłość ku dołowi:
\frac{2+2x}{(1+x)^4}>0

x>-1

x \in (-1, \infty )

Wypukłość ku górze:
\frac{2+2x}{(1+x)^4}<0

x<-1

x \in (- \infty , -1 )

Do tego sporządzić dokładny wykres i tabelę, ale to później. Teraz mam kilka pytań, czy to co zrobiłem do tej pory jest dobrze? Ta funkcja nadaje się do w miarę łatwego badania zmienności przebiegu?
Mam spore wątpliwości bo z tego co się orientowałem funkcja przypomina parabolę, a ekstrema, monotoniczności funkcji z moich obliczeń nie wiele miały wspólnego z wykresem. Korzystałem z programów rysujących funkcje jakie można znaleźć w internecie, może mnie w prowadziły w błąd? Chociaż miejsca zerowe wskazały prawidłowo.
Zacząłem się gubić, bardzo bym prosił o jakieś wskazówki.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
PostNapisane: 26 gru 2010, o 00:28 
Użytkownik
Miejsca zerowe masz źle już...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2010, o 10:09 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
No tak, przecież wszystko jest dodatnie, a sugerowałem się tym nieszczęsnym wykresem. Dzięki za szybką reakcje.
f(x)= \frac{x^2}{x+1}

0= \frac{x^2}{x+1}

0=x^2

x_0=0 funkcja ma jedno miejsce zerowe.

Teraz powinno być dobrze. Ale za to już w ogóle nie widzę tej funkcji, zobaczymy co będzie dalej.
Góra
PostNapisane: 26 gru 2010, o 11:37 
Użytkownik
Teraz jest ok.

Patrzymy dalej:

Cytuj:
Pozioma:y=1


Tutaj jest źle. Przecież wyliczyłeś, że takiej asymptoty nie ma...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2010, o 11:49 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Więc mamy tylko:
Asymptoty:
Pionowa: x=-1
Ukośna: y=x
Góra
PostNapisane: 26 gru 2010, o 11:50 
Użytkownik
ukośna jest źle policzona.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2010, o 12:20 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Asymptota ukośna:
y=ax+b

a:
\lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{1}{x}* \frac{x^2}{1+x}=\lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{x}{1+x}=\lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{1}{ \frac{1}{x}+1 }=1

b:
\lim_{x \to  \pm  \infty } ( \frac{x^2}{1+x}-x)=\lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{x^2-(x+x^2)}{1+x-(1+x)}= \frac{-x}{0}
to znaczy ze asymptota ukośna nie istnieje?
Góra
PostNapisane: 26 gru 2010, o 12:21 
Użytkownik
Istnieje. Źle sprowadziłeś do wspolnego mianownika...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2010, o 12:45 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Co ja robiłem...
b:
\lim_{x \to  \pm  \infty } ( \frac{x^2}{1+x}-x)=\lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{x^2-x-x^2}{1+x}=\lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{-x}{1+x}= \lim_{x \to  \pm  \infty }  \frac{x(-1)}{x( \frac{1}{x}+1) }=-1

y=x-1
Góra
PostNapisane: 26 gru 2010, o 12:50 
Użytkownik
No brawo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2010, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Wielkie dzięki za dotychczasową pomoc, a jak z resztą? Też do poprawek?
Góra
PostNapisane: 26 gru 2010, o 13:26 
Użytkownik
Pierwsza pochodna i całe rozważanie prawie ok. A punkt wyrzucony z dziedziny to co? Trzeba go uwzglednic w monotonicznosci
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2010, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
f maleje w x \in (-2,-1) \cup (-1,0) ?
Góra
PostNapisane: 26 gru 2010, o 14:20 
Użytkownik
No właśnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 gru 2010, o 14:30 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Zostało coś jeszcze? Mogę już przejść do rysowania wykresu i tabeli?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przebieg zmienności funkcji - zadanie 113  zuzia1818  5
 Przebieg zmiennosci funkcji  Anonymous  3
 przebieg zmiennosci funkcji - zadanie 2  Anonymous  2
 Przebieg zmienności funkcji - zadanie 126  grax  2
 Przebieg zmienności funkcji  nicola  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl