szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 312
Lokalizacja: Wrocław
Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie trójkąt równoboczny ma największą powierzchnię.

z jakich zależności rozwiązać to zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli przez p oznaczymy połowę obwodu trójkąta o bokach a,b,c, to wzór Herona mówi nam, że:
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy:
\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}\le \frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}=\frac{p}{3}
co oznacza, że:
(p-a)(p-b)(p-c) \le \frac{p^3}{27}
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy p-a=p-b=p-c czyli dla a=b=c.

Tak więc:
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \le \sqrt{p\cdot \frac{p^3}{27}}=\frac{p^2\sqrt{3}}{9}
a równość zachodzi tylko dla trójkąta równobocznego.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 312
Lokalizacja: Wrocław
mógłbyś wyjaśnić
skąd w tej linijce wziął się pierwiastek 3 stopnia

\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}\le \frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}=\frac{p}{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 16:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometryczną:

\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}

Tutaj:

x = p-a \wedge y = p-b \wedge z = p-c

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt prostokątny - zadanie 157  miczkaa  10
 trójkąt ostrokątny - zadanie 11  celia11  3
 Trójkąt prostokątny [zadanie]  pentel  3
 Trójkąt równoramienny (itp)  osiek  2
 Okrąg wpisany w trójkąt równoramienny...  karlx  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl