szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 312
Lokalizacja: Wrocław
Pokaż, że \frac{x}{1+x} \le ln(1+x) \le x dla wszystkich x>-1.Wskazówka: rozważ funkcje f(x)=ln(1+x)- \frac{x}{1+x} oraz g(x)=x-ln(1+x)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 18:35 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
No to teraz pozostaje znaleźć ekstrema tych funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 312
Lokalizacja: Wrocław
Ekstrema funkcji
f(x)=ln(1+x)- \frac{x}{1+x}
f'(x)= \frac{1}{1+x} -  \frac{x'*(1+x)-x*1}{ (1+x)^{2}}= \frac{1}{1+x}- \frac{x+1-x}{(1+x) ^{2} }= \frac{1+x-1}{(1+x) ^{2} }= \frac{x}{(x+1)^{2} }
f'(x)=0 \Leftrightarrow  \frac{x}{ (1+x)^{2} }=0
f'(x)=0  \Leftrightarrow  gdy x=0

g(x)=x-ln(1+x)
g'(x)=1- \frac{1}{x+1}*1= \frac{x+1-1}{x+1}= \frac{x}{x+1}
g'(x)=0 \Leftrightarrow  \frac{x}{x+1}=0  \Rightarrow x=0

Czy tak należało zróżniczkować podane funkcje? i czy do wyznaczenia ich ekstremum jest potrzeba narysowania wykresu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 19:43 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Jest dobrze, chociaż przydałyby sie jeszcze dziedziny. Wykresy są nieporzebne. Teraz kiedy jakie funkcje maleją/rosną?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 312
Lokalizacja: Wrocław
D_{f(x)}=(-1,+ \infty )
D_{g(x)}=(-1,+ \infty )
bo z definicji logarytmu (1+x)>0

Trzeba znaleźć monotoniczność podanych funkcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2010, o 23:22 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Tak, trzeba wiedziec w jakich punktach mają ekstrema, kiedy rosną i maleją.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2010, o 00:21 
Użytkownik

Posty: 312
Lokalizacja: Wrocław
czyli należy narysować pochodne tych funkcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2010, o 11:41 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Obejdzie się bez rysunku. No kiedy funkcja jest rosnąca? Gdy jej pochodna...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2010, o 12:05 
Użytkownik

Posty: 312
Lokalizacja: Wrocław
..gdy jej pochodna jest dodatnia czyli
f'(x)= \frac{x}{ (1+x)^{2} }>0
czyli x(1+x) ^{2}>0 dla x>0

g'(x)= \frac{x}{x+1}
\frac{x}{x+1}>0dla 1+x>0  \Rightarrow  x>-1

Dla obu funkcji x są zgodne z ich dziedzinami, jeśli dobrze obliczyłem to co teraz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2010, o 12:43 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Dobra, to wiemy już kiedy f rośnie, kiedy maleje i dla jakiego iksa ma minimum. LIczymy więc wartośc funkcji w tym iksie, jeżeli będzie nieujemna, to jest po sprawie. Natomiast nie do końca wiemy jak zachowuje się funkcja g... być może dlatego, że źle rozwiązalismy nierówność \frac{x}{x+1}>0...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2010, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Poznań
Jeśli chodzi o funkcje g(x), tox>0, dla x  \in \left( - \infty ,-1\right)  \cup (0, \infty )?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2010, o 21:09 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Ctrene napisał(a):
x>0 dla x  \in \left( - \infty ,-1\right)  \cup (0, \infty )?


??
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ograniczoność funkcji. Nierówność na kresach.  reksiak  0
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 Korzystajac z definicji udowodnij .....  Rey'nox  1
 udowodnij... wykaz...  bleble  4
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl