szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2011, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Sz/ZG/Wro
Napisać wzór na funkcje która spełnia warunki:
f(x+y)=f(x) \cdot f(y)
f(1) = \frac{ 1}{e}

można to obliczyć czy trzeba wykazać się abstrakcyjnym myśleniem? możecie określić jak dojść do rozwiązania.

z góry dzięki za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2011, o 22:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2527
Lokalizacja: Bytom
f(x) = e^{-x}, zgadywane i chyba najprostsze, ale nie wykluczam, że jest tego więcej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2011, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Sz/ZG/Wro
a mógłbyś napisać jak do tego doszedłeś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2011, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 255
Kładąc do pierwszego równania x:=\frac{x}{2}, y:=\frac{x}{2}, otrzymujemy, że f(x) = f(\frac{x}{2})^2 \geq 0, przy czym jeżeli chociaż dla jednego argumentu funkcja przyjmuje wartość 0, to łatwo pokazać, że f(x)\equiv 0, co jest sprzeczne z drugim warunkiem, więc f(x) > 0. Niech g(x) = ln(f(x)), czyli f(x) = e^{g(x)}. Podstawiając do równania otrzymujemy: e^{g(x+y)} = e^{g(x)+g(y)}, więc g(x+y) = g(x) + g(y). Przydałoby się jeszcze założenie o ciągłości funkcji, ale jeżeli mamy znaleźć dowolną, to możemy ślepo przyjąć, że g(x) = cx. Stąd f(x) = e^{g(x)} = e^{cx}. Korzystając teraz z drugiego warunku, otrzymujemy, że \frac{1}{e} = f(1) = e^c, stąd c=-1, więc f(x)=e^{-x}, jednak nie jest do jedyna funkcja spełniająca warunki zadania ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciekawie wygladajace funkcje  kris  1
 dwie funkcje - zadanie 8  primabalerina01  16
 Znaleźć funkcje odwrotne  lortp  3
 Znajdz funkcję odwrotną - zadanie 10  kl18  2
 Funkcje w zależności od parametru  anzibenzi  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl