szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2011, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Gdańsk
Witam! Mam prosiłbym o rozwiązanie kilku zadań.
1. Dane są funkcje f:A \rightarrow B i g:B \rightarrow C.
a) Wykazać, że jeśli funkcja g(f(x)) jest injekcją, to funkcja f jest injekcją.
b) Wykazać, że jeśli funkcja g(f(x)) jest surjekcją, to funkcja g jest surjekcją.
2. Wykazać, że funkcja f:R \rightarrow R, gdzie f(x)=3x ^{3}-x, nie jest różnowartościowa, ale jest surjekcją.
3. Wykazać, że funkcja f:Z \rightarrow Z, gdzie f(x)=3x ^{3}-x, jest różnowartościowa, ale nie jest surjekcją.
Generalnie wiem, że muszę zastosować definicje injekcji, ale nie za bardzo wiem, jak to później rozłożyć :/.
Z góry dzięki za odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2011, o 21:45 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Ad 1. Dowód nie wprost.

Ad 2. Brak różnowartościowości - kontrprzykład, surjektywność - tw. Darboux.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2011, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Gdańsk
1. Jak ten dowód ma wyglądać?
Mam tezę: [g(f(x _{1}))=g(f(x _{2})) \Rightarrow f(x _{1})=f(x _{2})] \Rightarrow [f(x _{1})=f(x _{2}) \Rightarrow x _{1}=x _{2}}]
No i według dowodu niewprost zakładam, że W[f(x _{1})=f(x _{2}) \Rightarrow x _{1}=x _{2}}]=0, więc W(f(x _{1})=f(x _{2}))=1 i W(x _{1}=x _{2}})=0, zatem W[g(f(x _{1}))=g(f(x _{2})) \Rightarrow f(x _{1})=f(x _{2})]=1.
Tak chyba wygląda dowód niewprost, ale jakoś z tego nie wiem, co wynika.
2. Z różnowartościowością sobie poradziłem, ale jak udowodnić tą surjekcję to nadal nie wiem, co nam daje twierdzenie Darboux?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2011, o 23:27 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
1. Zdecydowanie nie masz pojęcia, jak wygląda dowód nie wprost.

Załóżmy nie wprost, że f nie jest injekcją. Wobec tego istnieją x,y\in A, x\neq y takie, że f(x)=f(y). Ale wówczas tym bardziej g(f(x))=g(f(y)), wbrew założeniu o różnowartościowości funkcji g\circ f. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Drugie podobnie.

2. Ponieważ funkcja w nieskończonościach zbiega do +\infty i -\infty i jest ciągła, to wykorzystując tw. Darboux możesz pokazać, że przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 surjekcja i injekcja - zadanie 3  Bodek  25
 surjekcja i injekcja - zadanie 4  lolo666  5
 Surjekcja i injekcja - zadanie 2  ajmp  2
 Iniekcja, surjekcja, bijekcja...  Laucer  2
 Surjekcja, różnowartościowość, funkcja odwrotna  porucznik  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl