szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 sty 2011, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 107
Lokalizacja: Polska
Liczba 2 ^{40} - 1 nie jest podzielna przez:
A. 1023
B. 33
C. 31
D. 29
Jedna z odpowiedzi jest dobra, ale nie wiem która. Ustaliłam tylko, że ostatnią cyfrą tej liczby jest 5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2011, o 18:18 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: ttm
2^{40} -1 = \left(  2 ^{10} \right) ^{4} - 1 ^{4} = ( 2^{10} - 1)(2 ^{30} + 2 ^{20} + ...) = 
1023(2 ^{30} + 2 ^{20} + ...)
Czyli jest podzielna przez 1023,
to samo z 31:

2^{40} -1 = \left(  2 ^{5} \right) ^{8} - 1 ^{8} = ( 2^{5} - 1)(2 ^{35} + 2 ^{30} + ...) = 
31(2 ^{35} + 2 ^{30} + ...)

Możemy też to zrobić dla wykazania podzielności przez 3:
2^{40} -1 = \left(  2 ^{2} \right) ^{20} - 1 ^{20} = ( 2^{2} - 1)(2 ^{38} + 2 ^{36} + ...) = 
3(2 ^{38} + 2 ^{36} + ...)

Teraz sprawdzamy podzielność przez 11:
2\equiv 2 \quad(mod11)\\
2^{2} \equiv 4\\
2^{3} \equiv 8\\
2^{4} \equiv 16 \equiv 5\\
2^{5} \equiv 10\\
\left( 2^{5}\right)  ^{2} =  2^{10}   \equiv 100 = 9 \cdot 11+1 \equiv 1\\
\left( 2^{10}\right)  ^{4} =2 ^{40}  \equiv 1\\
2 ^{40} - 1  \equiv 0

Czyli liczba jest podzielna przez 11, zatem skoro jej dzielnikami są zarówno 3 jak i 11, to jest tez podzielna przez 33=3*11.
Stąd odpowiedzi A, B i C są błędne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 sty 2011, o 21:56 
Użytkownik

Posty: 107
Lokalizacja: Polska
Chyba to trochę za trudne jak dla mnie (z gimnazjum). Znam wzory skróconego mnożenia, ale tylko potęgę drugą i trzecią. Czy jest jakiś ogólny wzór na różnicę dowolnych potęg? A tej drugiej części w ogóle nie rozumiem :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2011, o 22:26 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: ttm
dla dowolnych n>1:
a^{n} - b ^{n} = (a-b)(a^{n-1} +  a^{n-2} \cdot b +  a^{n-3} \cdot b^{2}  + ... +  a^{2} \cdot b ^{n-3}  +  a \cdot b ^{n-2}  +  b^{n-1})

Inaczej:
a^{n} - b ^{n} = (a-b) \cdot  \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}  \cdot b ^{k}

W drugiej części arytmetyka modularna.

Skoro znasz taki wzory na różnicę kwadratów to można tak:
2^{40} -1 = (  2^{20} -1)( 2^{20} +1) = (2 ^{10} -1)( 2^{10} +1)( 2^{20} +1) = \\(1024-1)( 2^{10} +1)( 2^{20} +1)=1023( 2^{10} +1)( 2^{20} +1)

A jak już udowodniliśmy, że jest podzielna przez 1023 (ze wzorów skróconego mnożenia) to wystarczy zauważyć, że 1023=33 \cdot 31, czyli z podzielności przez 1023 wynika podzielność przez 33 oraz 31, koniec!
I obyło się bez arytmetyki modularnej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl