szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2006, o 01:11 
Gość Specjalny

Posty: 845
Lokalizacja: Limanowa
Zacznijmy od definicji pochodnej funkcji:


\Large f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}



I jeszcze kilka przydatnych wzorów:

  • Pochodna iloczynu funkcji i liczby:
    \left( a\cdot f \left( x \right)  \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{a\cdot f \left( x+h \right) -a\cdot f \left( x \right) }{h}=a\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=a\cdot f' \left( x \right)

  • Pochodna sumy:
    \left( f \left( x \right) +g \left( x \right)  \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) +g \left( x+h \right) - \left( f \left( x \right) +g \left( x \right)  \right) }{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}=f' \left( x \right) + g' \left( x \right)

  • Pochodna różnicy:
    \left( f \left( x \right) - g \left( x \right)  \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -g \left( x+h \right) - \left( f \left( x \right) -g \left( x \right)  \right) }{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}-\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}=f' \left( x \right) - g' \left( x \right)

  • Pochodna iloczynu:
    \left( f \left( x \right) \cdot g \left( x \right)  \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) }{h}= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) +f \left( x \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) }{h}= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x \right)  \left( g \left( x+h \right) -g \left( x \right)  \right) +g \left( x+h \right)  \left( f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= f \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}+g \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

  • Pochodna ilorazu:
    \left( \frac{f \left( x \right) }{g \left( x \right) } \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f \left( x+h \right) }{g \left( x+h \right) }-\frac{f \left( x \right) }{g \left( x \right) }}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) }{h\cdot g \left( x \right) g \left( x+h \right) }= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) +f \left( x \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) }{h\cdot g \left( x \right) g \left( x \right) }= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x \right)  \left( f \left( x+h \right) -f \left( x \right)  \right) -f \left( x \right)  \left( g \left( x+h \right) -g \left( x \right)  \right) }{h\cdot  \left( g \left( x \right)  \right) ^2}= \frac{g \left( x \right) }{ \left( g \left( x \right)  \right) ^2}\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}-\frac{f \left( x \right) }{ \left( g \left( x \right)  \right) ^2}\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}= \frac{f' \left( x \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g' \left( x \right) }{ \left( g \left( x \right) ^2 \right) },\:\; gdy\,g \left( x \right) \neq0




POCHODNE WAŻNIEJSZYCH FUNKCJI:




  • f \left( x \right) =a


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a-a}{h}=0



  • f \left( x \right) =ax+b


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a \left( x+h \right) +b- \left( ax+b \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{ax+ah+b-ax-b}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{ah}{h}=a



  • f \left( x \right) =\sqrt{x},\;\;x>0


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}= \lim\limits_{h\to0}\frac{x+h-x}{h \left( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right) }=\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}



  • f \left( x \right) =\frac{a}{x},\;\;x\neq0


    f' \left( x \right) =f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{a}{x+h}-\frac{a}{x}}{h}= f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{ax-a \left( x+h \right) }{h\cdot x \left( x+h \right) }= \lim\limits_{h\to0}\frac{-a}{x \left( x+h \right) }=-\frac{a}{x^2}



  • f \left( x \right) =a^x,\;\;a>0


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^x \left( a^h-1 \right) }{h}=a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}
    Zastosujemy teraz podstawienie a^h-1=z. Jeśli h\to0, to a^h\to1\,\Rightarrow\,z\to0.
    a^h=z+1\,\Leftrightarrow\,h=\log _a \left( z+1 \right)
    f' \left( x \right) =a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=a^x\lim\limits_{z\to0}\frac{z}{\log _a \left( z+1 \right) }= a^x\lim\limits_{z\to0}\frac{1}{\frac{1}{z}\log _a \left( z+1 \right) }=a^x\lim\limits_{z\to0}\frac{1}{\log _a \left( 1+z \right) ^{\frac{1}{z}}}= a^x\cdot\frac{1}{\log _a \left( \lim\limits_{z\to0} \left( 1+z \right) ^{\frac{1}{z}} \right) }=a^x\cdot\frac{1}{\log _ae}=a^x\ln {a}



  • f \left( x \right) =e^x


    szczególny przypadek powyższego wzoru
    f' \left( x \right) =e^x\ln {e}=e^x



  • f \left( x \right) =\log _ax,\;\;a>0,\,a\neq1,\,x>0


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\log _a \left( x+h \right) -\log _ax}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{1}{h}\log _a \left( \frac{x+h}{x} \right) = {\lim\limits_{h\to0}\log _a \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\frac{1}{h}}}=\log _a \left( \lim\limits_{h\to0} \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\frac{1}{h}} \right) = \log _a \left( \lim\limits_{h\to0} \left(  \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\frac{x}{h}} \right) ^{\frac{1}{x}} \right) =\log _ae^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\log _ae=\frac{1}{x\ln {a}}



  • f \left( x \right) =\ln {x},\;\;x>0


    szczególny przypadek powyższego wzoru
    f' \left( x \right) =\frac{1}{x\ln {e}}=\frac{1}{x}



  • f \left( x \right) =x^a


    f' \left( x \right) = \left( x^a \right) '= \left( e^{\ln {x^a}} \right) '= \left( e^{a\ln {x}} \right) '=e^{a\ln {x}}\cdot \left( a\ln {x} \right) '= e^{\ln {x^a}}\cdot a\frac{1}{x}=x^a\cdot a\frac{1}{x}=a\frac{x^a}{x}=a\cdot x^{a-1}



  • f \left( x \right) =x^x,\;\;x\neq0


    f' \left( x \right) = \left( x^x \right) '= \left( e^{\ln {x^x}} \right) '= \left( e^{x\ln {x}} \right) '=e^{x\ln {x}}\cdot \left( x\ln {x} \right) '= e^{\ln {x^x}}\cdot \left( 1\cdot\ln {x}+x\cdot\frac{1}{x} \right) =x^x \left( \ln {x}+1 \right)



  • f \left( x \right) =\sin {x}


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( x+h \right) }-\sin {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{2\sin { \left( \frac{x+h-x}{2} \right) }\cos { \left( \frac{x+h+x}{2} \right) }}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }\cos { \left( x+\frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}= \cos {x}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}=\cos {x}



  • f \left( x \right) =\cos {x}


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos { \left( x+h \right) }-\cos {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{-2\sin { \left( \frac{x+h+x}{2} \right) }\sin { \left( \frac{x+h-x}{2} \right) }}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{-\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }\sin { \left( x+\frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}= -\sin {x}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}=-\sin {x}



  • f \left( x \right) =\tan {x},\;\;x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\:k\in C


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\tan { \left( x+h \right) }-\tan {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{\sin { \left( x+h-x \right) }}{\cos { \left( x+h \right) }\cos {x}}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\sin {h}}{h\cos { \left( x+h \right) }\cos {x}}=\frac{1}{\cos ^2{x}}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin {h}}{h}=\frac{1}{\cos ^2{x}}



  • f \left( x \right) =\cot {x},\;\;x\neq k\pi,\,k\in C


    f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cot { \left( x+h \right) }-\cot {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{\sin { \left( x- \left( x+h \right)  \right) }}{\sin { \left( x+h \right) }\sin {x}}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{-\sin {h}}{h\sin { \left( x+h \right) }\sin {x}}=-\frac{1}{\sin ^2{x}}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin {h}}{h}=-\frac{1}{\sin ^2{x}}

27 lis 2011, abc666 - dodanie kowtic
18 lis 2012, miki999 - skalowanie nawiasów
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2006, o 17:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
Fajny post, na pewno się przyda w Kompendium, mam dwie uwagi:

1. Wyprowadzanie ogólnych własności działań na pochodnych, jak również i samych pochodnych jest oparte na definicji pochodnej, a w definicji mamy granicę w konkretnym punkcie.

Stąd też rozumowanie w wyprowadzeniu pochodnej ilorazu jest nieścisłe, bowiem wyprowadzając ją w określonym punkcie x_0, zakładasz, że g(x_0) \neq 0, ale nic nie zakładasz (i nie powinieneś) o g(x_0+h), które to także jest w mianowniku w określonym punkcie dowodu. Tu potrzebne jest inne rozumowanie.

2. Przydałoby się jeszcze wyprowadzenie pochodnej złożenia i pochodnej f. odwrotnej.

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2009, o 18:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
Taki przydatny wzorek na n-tą pochodną iloczynu. Jeśli istnieją wszystkie pochodne funkcji f,g do n-tego rzędu włącznie, to:
(fg)^{(n)}=f^{(n)}g+{n \choose 1}f^{(n-1)}g'+{n\choose 2}f^{(n-2)}g''+...+{n \choose {n-1}}f'g^{(n-1)}+fg^{(n)}


Dowód przez indukcję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 paź 2009, o 13:13 
Użytkownik

Posty: 9
Pozwolę sobie dopisać i wyprowadzić parę innych wzorów

1. Funkcja złożona


y=f \left( g \left( x \right)  \right)  ; u=g \left( x \right)

\left( f \left( g \left( x \right)  \right)  \right) '=\frac{d}{dx} f \left( g \left( x \right)  \right) =\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}= \lim_{h\to 0} \frac{f \left( g \left( x+h \right) -f \left( g \left( x \right) }{h} \frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h} =f' \left( g \left( x \right)  \right) \cdot g' \left( x \right)

2. Logarytm naturalny z f \left( x \right)


\left( \ln  \left( f \left( x \right)  \right)  \right) '=\frac{d\ln  \left( f \left( x \right)  \right) }{dx} =\frac{d\ln  \left( f \left( x \right)  \right) }{df \left( x \right) }\frac{df \left( x \right) }{dx}= \frac{f' \left( x \right) }{f \left( x \right) }

3. e^{f \left( x \right) }


\frac{de^{f \left( x \right) }}{dx}=\frac{de^{f \left( x \right) }}{df \left( x \right) }\frac{df \left( x \right) }{dx}=e^{f \left( x \right) }\cdot f' \left( x \right)

4. f \left( x \right) ^{c}


\frac{df \left( x \right) ^{c}}{dx}=\frac{df \left( x \right) ^{c}}{f \left( x \right) }\frac{df \left( x \right) }{dx}=c\cdot f \left( x \right) ^{c-1}\cdot f' \left( x \right)

5. f \left( x \right) ^{g \left( x \right) }


\frac{df \left( x \right) ^{g \left( x \right) }}{dx} = \frac{de^{g \left( x \right) \cdot \ln  \left( f \left( x \right)  \right) }}{dx}=e^{g \left( x \right) \cdot \ln  \left( f \left( x \right)  \right) }\cdot  \left( g \left( x \right) \cdot \ln  \left( f \left( x \right)  \right)  \right) '=e^{g \left( x \right) \cdot \ln  \left( f \left( x \right)  \right) }\cdot  \left( g' \left( x \right) \cdot \ln  \left( f \left( x \right)  \right) + \left( \ln  \left( f \left( x \right)  \right)  \right) '\cdot g \left( x \right)  \right) =f \left( x \right) ^{g \left( x \right) }\cdot  \left( g' \left( x \right) \cdot \ln  \left( f \left( x \right)  \right) +\frac{f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right) }{f \left( x \right) } \right)

Myślę że wyprowadzenia są dość oczywiste, jednak nie zaszkodzi wstawić
wypadałoby też wspomnieć o użytej tu regule łańcuchowej (\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}) - http://pl.wikipedia.org/wiki/Reguła_łańcuchowa

18 lis 2012, miki999 - poprawa ln na \ln itp.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodna superpozycji funkcji (funkcji złożonej) w punkcie  bolo  0
 Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego  luka52  0
 asymptoty wykresu funkcji - zadanie 3  lukasz1804  0
 Pochodna funkcji - motywacja fizyczna  szw1710  0
 Pochodna funkcji górnej lub dolnej granicy całkowania  luka52  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl