szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Wrocław
Witam!
Robiłem sobie dzisiaj zadanka z indukcji i zatrzymałem się na takim przykładzie:
1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n - 1)^{2} = \frac{n(4n^{2} - 1)}{3} \\

zal. wiadomo \\

Teza: 1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2k - 1)^{2} + (2k + 1)^{2}= \frac{(k+1)(4(k+1)^{2} - 1)}{3} \\

Dowód: 1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2k - 1)^{2} + (2k + 1)^{2}= \frac{k(4k^{2} - 1)}{3} + 2k + 1)^{2} = \frac{k(4k^{2} - 1) + 3(k^{2} + 1)^{2}}{3}

I dalej nie wiem co zrobić, myślałem aby pomnożyć to ale albo gdzieś popełniłem błędy albo inaczej trzeba to zrobić.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 19:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1501
Lokalizacja: Kraków
zle masz teze

powinno byc
1^2 +3^2+5^2+...+(2n-1)^2+(2n)^2=\frac{(n+1)(4(n+1)^2-1)}{3} bo w po lewej stronie dodaje sie nastepny wyraz czuli ((2n-1)+1)^2=(2n)^2 a po prawej do n 1 czyli to masz dobrze
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 19:14 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Wrocław
A gdyby nie było kwadratu przy tym wyrazie to byłoby tak jak zrobiłem tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 19:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1228
Lokalizacja: Pomorze
Dobrze masz nazywaną przez ciebie teze a to jest założenie :) bo:
(2n-1)^{2} i jego kolejny wyraz to (2n+1)^{2) bo
(2(n+1)-1)^{2}=(2n+2-1)^{2}=(2n+1)^{2}
Pozdro
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 19:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1501
Lokalizacja: Kraków
nie masz racji bo 1 w L stronie tezy nie dodajemy do n tylko do wyrazu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 20:31 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
nuclear napisał(a):
nie masz racji bo 1 w L stronie tezy nie dodajemy do n tylko do wyrazu

Chyba jednak nie - zauważ, że początkowe podstawy potęg wcale nie różnią się o 1...

dert napisał(a):
\frac{k(4k^{2} - 1)}{3} + (2k + 1)^{2} = \frac{k(4k^{2} - 1) + 3(k^{2} + 1)^{2}}{3}

Ta równość nie jest prawdziwa.
Raczej:
\frac{k(4k^{2} - 1)}{3} + (2k + 1)^{2} = \frac{k(4k^{2} - 1) + 3(2k + 1)^{2}}{3}
Dalej wymnażasz licznik, później grupujesz, rozkładasz na iloczyn i powinno wyjść to co trzeba.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 20:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1228
Lokalizacja: Pomorze
No to dobrze mówiłem:PP
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Wrocław
Wprawdzie nie o to mi chodziło, bo na kartce zrobiłem dobrze tak jak tutaj tylko źle przepisałem.
Problem mam jak to wymnożyć, pogrupować itd.

\frac{k(4k^{2} -1) + 3(2k +1)^{2}}{3} = \frac{4k^{3} -k + 3(4k^{2} + 4k + 1)}{3} = \frac{4k^{3} + 12k^{2} + 11k + 3}{3} = \frac{(k+1)(4(k+1)^{2} - 1}{3}

Dobrze to zrobilem? Czy da sie to jakoś łatwiej rozpisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 22:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
\frac{k(4k^{2} - 1) + 3(2k + 1)^{2}}{3} = \frac{4k^{3} - k + 3(4k^{2} + 4k + 1)}{3} = \frac{4k^{3} + 12k^{2} + 11k + 3}{3} = \frac{4k^{3} + 4k^{2} + 8k^{2} + 8k + 3k + 3}{3} = \frac{(k + 1)(4k^{2} + 8k + 3)}{3} = \frac{(k + 1)(4(k^{2} + 2k + 1) - 1)}{3} = \frac{(k + 1)(4(k + 1)^{2} - 1)}{3} cnd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2006, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Wrocław
No to prawie dobrze zrobiłem :)
Dzięki max
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [indukcja] problemy z dowodem :(  JoX  5
 Wykaż indukcyjnie (równania)  take7  3
 problem z dowodem  sltrut  3
 Podzielność i prawdziwość równania-indukcja matematyczna.  maci3k  1
 Problem z dowodem indukcyjnym  korbend  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl