szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2011, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: polska
Witam.

Mam problem z zadaniem. Otóż nie wiem jak się za nie zabrać.

Treść:
Wykaż, że suma długości trzech środkowych w trójkącie jest mniejsza od \frac{3}{2} sumy długości jego boków.

Mógłby ktoś poradzić jak rozwiązać to zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2011, o 17:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Skorzystaj z nierówności trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2011, o 18:37 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: polska
A można prosić trochę więcej szczegółów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2011, o 18:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Oznacz boki tego trójkąta jako 2a, \ 2b, \ 2c, a środowe łączące dany bok z przeciwległym wierzchołkiem kolejno jakoa', \ b', \ c'.
Z nierówności trójkąta mamy:
\begin{cases}a\prime <2c+a \\ a\prime <2b+a \\  b\prime <2a+b \\  b\prime <2c+b \\  c\prime <2a+c \\  c\prime <2b+c \\ \end{cases}.
Teraz wystarczy dodać te nierówności stronami, a otrzymaną nierówność podzielić stronami przez 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2011, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: polska
a dlaczego boki tego trójkąta są oznaczone 2a, \ 2b, \ 2c? Z czego to wynika?

Edit: Aaa rozumiem:)) srodkowa dzieli bok na pol

Dziekuje za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2011, o 22:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1
Lokalizacja: Bydgoszcz
Twierdzenie o nierówności trójkąta mówi że suma 2 krótszych musi być dłuższa od najdłuższego. Nie jest powiedziane że środkowe są najdłuższymi bokami. Trzeba podzielić te środkowe korzystając z twierdzenia że dzielą się 2:1. I tak:
\begin{cases} 2c<2/3a\prime+2/3b\prime\\2a<2/3c\prime+2/3b\prime\\2b<2/3c\prime+2/3a\prime\end{cases}
a zatem
2(a+b+c)<4/3(a\prime+b\prime+c\prime)
czyli
3/2(a+b+c)<(a\prime+b\prime+c\prime)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2012, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Pozwolę sobie odświeżyć temat. Sprawdziłam i faktycznie, środkowa nie musi być najdłuższym bokiem. Jednak Ikristof nie dokończył zadania, bo z tego co napisał wynika tylko tyle, że:
(a\prime+b\prime+c\prime)>3/2(a+b+c)
4/3(a\prime+b\prime+c\prime)>2(a+b+c)
Więc udowodniliśmy, że 4/3 sumy długości środkowych jest większe niż suma dł. boków trójkąta. Więc jak w końcu zrobić to zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2012, o 19:54 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Megi-kg, raz że masz złe zwroty w nierównościach, a dwa że
Cytuj:
(a\prime+b\prime+c\prime)<3/2(a+b+c)
to już teza :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2012, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Tylko że to nie ja mam takie zwroty w nierównościach, ale kolega Ikristof, ja tylko poprzerzucałam strony. Jeśli chcesz mogę zacytować dokładnie:
Cytuj:
\begin{cases} 2c<2/3a\prime+2/3b\prime\\2a<2/3c\prime+2/3b\prime\\2b<2/3c\prime+2/3a\prime\end{cases}
a zatem
2(a+b+c)<4/3(a\prime+b\prime+c\prime)
czyli
3/2(a+b+c)<(a\prime+b\prime+c\prime)



A co do Twojej informacji, że ta nierównośc to już teza:
zgodnie z oznaczeniami aresa, jest w tej nierówności napisane: suma długości środkowych jest mniejsza niż 3/2 połowy sumy długości boków trójkąta. No i napisałeś nierówność z przeciwnym zwrotem niż Ikristof :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2012, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Przede wszystkim lkristof rozwiązywał inne zadanie. Należało pokazać, że a'+b'+c'<3(a+b+c), co uczynił ares41. Natomiast lkristof pokazał, że a'+b'+c'>\frac32(a+b+c).

Dyskusji o tym, który bok jest najdłuższy, nie rozumiem, toteż się w nią nie włączę.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2012, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 1260
+1
Udowodnione zostało więcej niż było trzeba.
To, co lkristof nazwał "twierdzeniem o nierówności trójkąta", rozwiązując inne niż podane zadanie, jest jednym z wniosków z tej nierówności, która faktycznie dotyczy każdej pary boków, a nie tylko boków najkrótszych.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2012, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Rozumiem, masz rację... przeczytałam zdanie Ikristofa na temat nierówności trójkąta i nie zastanowiłam się czy jest to prawda, a przecież oczywistym jest, że tak nie jest :). Czyli rozwiązanie aresa jest poprawne, dziękuję Nike.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2012, o 22:33 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Megi-kg napisał(a):
przeczytałam zdanie Ikristofa na temat nierówności trójkąta i nie zastanowiłam się czy jest to prawda,

a przecież gdyby to była prawda, to rozwiązanie Ikristofa byłoby niepoprawne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 kwi 2012, o 05:19 
Użytkownik

Posty: 1260
Suma długości krótszych boków trójkąta jest większa od długości boku najdłuższego.
Mi bardziej chodziło o to, że, o ile dobrze rozumiem, to zdanie w jakiś sposób zaimplikowało stwierdzenie, że gdy środkowa nie jest najdłuższym bokiem tego mniejszego trójkąta, to nierówności trójkąta nie można stosować, a to już prawdą nie jest.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 kwi 2012, o 14:27 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Dokładnie tak odebrałam Twój post, tak więc dziękuję za rozjaśnienie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Udowodnić, że suma długosci odcinków w trójkącie jes  Vithal  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 Oblicz długości boków trójkąta  Jessica  1
 Oblicz długości boków trójkąta protokątnego  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl