Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Podzielność

Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Strona 1 z 2

[ Posty: 19 ]

Przejdź na stronę 1, 2 Następna strona

Autor

Wiadomość

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 17:17

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

Witam, nie mogę sobie poradzić z jednym działem, mianowicie podzielnością. Większość działów ogarniam w locie ten jakoś kiepsko mi idzie. Przejdę może do treści, mianowicie: (prosiłbym o nie krytykowanie że dla jednego zad zakładam temat, uwierzcie mi znajdzie się ich tutaj tysiące xD):

1) Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej n liczba $n^5-n$ jest podzielna przez 5.

Zadanie jest łatwe, sprowadzam go do postaci $(n-1)n(n+1)(n^2+1)$ następnie za n podstawiam 5k (n=5k) bo jeśli n mam być podzielne przez 5 to musi to być iloczyn 5 i jakiegoś "k", i teraz pojawia się pytanie co dalej? mam rozważać przypadki z resztami czy jak? np. 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4 ? proszę o pełną odpowiedź (nie lubię chodzenia na skróty w matmie

)

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

Vax

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 17:22

Posty: 2910
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa

1 sposób, wynika to z Małego Twierdzenia Fermata, 2 sposób to taki jak pokazałeś, rozbijamy na:

$(n-1)n(n+1)(n^2+1)$

I teraz jeżeli $n=5k+1 \vee n=5k \vee n=5k+4$ to któryś z pierwszych 3 czynników dzieli się przez 5, tak więc zostają jedynie 2 przypadki:

1) $n=5k+2$

Wówczas:

$n^2+1 = (5k+2)^2+1 = 25k^2+20k+5 = 5(5k^2+4k+1)$

2) $n=5k+3$

$n^2+1= (5k+3)^2+1 = 25k^2+30k+10 = 5(5k^2+6k+2)$

Pozdrawiam.

Góra

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 17:30

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

Uhh... ok kapuje

I taki sposób można stosowac do większości zadań tego typu?

Góra

cyberciq Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 17:30

Posty: 450

Albo rozwiązanie z kongruencji
$n\equiv0(mod 5) \Rightarrow n ^{5} -n\equiv0(mod5)\\n\equiv1(mod5) \Rightarrow n ^{5} -n\equiv1 ^{5} -1=0(mod5)\\n\equiv2(mod5) \Rightarrow n ^{5} -n\equiv2 ^{5} -2\equiv0(mod 5)\\n\equiv3\equiv-2(mod5) \Rightarrow n^5-n\equiv(-2 )^{5} +2\equiv0(mod5)\\n\equiv4\equiv-1(mod5) \Rightarrow n ^{5} -n\equiv (-1) ^{5} +1\equiv0(mod5)$

pozdrawiam

Góra

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 17:37

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

cyberciq napisał(a):

tego to nie ogarniam, czy mógłbyś mi to objaśnić co to jest ta kongruencja?

Góra

cyberciq Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 17:42

Posty: 450

$a\equiv b(mod\n) \Leftrightarrow n|(a-b)$ czyli innymi słowy liczba a i b dają równe reszty z dzielenia przez n. No i oprócz tego mamy różne prawa działań np. zwrotność,symetria, przechodność. Nie jest trudne, a upraszcza bardzo niektóre zadania z podzielności więc warto poznać.

pozdrawiam

Góra

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 17:46

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

Vax napisał(a):

Wracam jeszcze do góry, czy gdybym podstawił za n 5k + reszta, także w równaniach liniowych czy byłby to błąd? Czy tylko więcej do liczenia?

Góra

ares41 Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 18:03

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków

No to może jeszcze ja podam kolejną metodę.

Dowód przez indukcję.

1)
$n=1 \Rightarrow n^5-n=0 \ \ 0|5$ Ok

2)
$\text{Z:} \ \bigwedge_{k \in N} \bigvee_{t \in N} k^5-k=5t\\ \text{T:} \ \bigwedge_{k \in N} \bigvee_{x \in N} (k+1)^5-(k+1)=5x\\ \text{D:} \\ (k+1)^5-(k+1)=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-(k+1)=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1=\underbrace{k^5-k}_{5t}+5k^4+10k^3+10k^2+5k=5\underbrace{(t+k^4+2k^3+2k^2+k)}_{\text{ozn.}x}$
Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdego $n \in \mathbb N$ .

Góra

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 2 lut 2011, o 18:06

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

Góra

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 9 kwi 2011, o 10:03

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

Witam ponownie

mam pytanie odnośnie bardzo ławego przykładu mianowicie:

Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^5-n$ jest podzielna przez 5.

Przekształcamy do postaci:

$(n-1)n(n+1)(n^2+1)$

sposobem aby wykazać że to jet podzielne przez pięć trzeba pokazać że jeśli podstawię pod n liczbę odzielną przez 5 z resztą np:
$n=5k+1$
$n=5k+2$
$n=5k+3$
$n=5k+4$

i wykaże że można wyciągnąć 5 to jest to podzilne przez 5 no i wszystko super tylko moje pytanie brzmi czy muszę wykazywać że jest to podzilne przez $n=5k+2$ oraz $n=5k+3$ skoro z zapisu wynika że ta liczba jest podzielna przez 2 i 3 bo jest tutaj iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych??? (sory za dużo czytania xD)

Góra

Quaerens Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 9 kwi 2011, o 10:14

Posty: 2489

Najpierw sprawdzamy dla jakiegoś n;
Potem stawiamy założenie, że n=k i tezę iż n=k+1 i dowadzamy:

$(k+1)^{5}-(k+1) \\ (k+1)^{5}= {5 \choose 0} k^{5}+ {5\choose 1}k^{4}+ {5 \choose 2}k^{3}+ {5 \choose 3} k^{2}+ {5 \choose 4}k+ {5 \choose 5} \\ k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1-k-1 \\ (k^{5}-k)+5(k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k)=true$

EDIT:

Nie wiem po co to pisałem skoro ares już to rozwiązał. Co do twojego pytania: Weź liczbę podzielną przez 2,3,4,6 np. 12 i pomnóż ją przez 5, to także będzie podzielna przez 5.

Góra

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 9 kwi 2011, o 10:20

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

ok tylko ja się chciałm konkretnie dowiedzieć czy muszę podsatwiać też 5k+2 i 5k+3 jeśl z zapisu widać że jest to poidzilne przez 2 i 3??? czy moge wykazywać tylko dla 5k+1 i 5k+4 ???

ale dzięki ci za pomoc

Góra

Quaerens Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 9 kwi 2011, o 10:22

Posty: 2489

Założenie dotyczy k+1, cokolwiek nie wstawisz za k, jeśli jest prawdą, że wyrażenie $n^{5}-n$ jest podzielne przez 5, to twoja podstawienie w efekcie będzie podzielne przez 5.

Góra

Vax

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 9 kwi 2011, o 10:25

Posty: 2910
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa

damianplflow mu nie chodzi o indukcję

Co do Twojego pytania Bartek93klm to jeżeli robisz tym sposobem, musisz podstawić i pokazać, że dla wszystkich przypadków dane wyrażenie będzie podzielne przez 5

Pozdrawiam.

Góra

Bartek93klm Offline

Tytuł: Podzielność i liczby - mechanizm rozwiązywania.

Napisane: 9 kwi 2011, o 10:26

Posty: 69
Lokalizacja: Władywostok

trochę to czasochłonne ale ok dzięki

-- 9 kwi 2011, o 16:05 --

OK znalazłem kolejne dziwne pytanie xD :

$1 \le k \le n$

$k(n-k+1) \ge n$
$k-k^2 \ge n-kn$
$-k^2+k \ge -kn+n$

i teraz wyciągam $k$ i $n$ przed nawias i skracam:

I "sposób":

$-k(k-1) \ge -n(k-1)$
$-k \ge -n |:(-1)$
$k \le n$ i to jest ok i zgodne z założeniem ale:

II "sposób":
$k-k^2 \ge n-kn$
$k(1-k) \ge n(1-k)$
$k \ge n$

I oto pytam się co jest grane?

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 2	[ Posty: 19 ]	Przejdź na stronę 1, 2 Następna strona

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Podzielność

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
(3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...	Anonymous	5
(4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia	Anonymous	3
(4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10	Anonymous	4
Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11	Anonymous	3
(3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że	basia	2

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]