szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2006, o 20:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 57
Lokalizacja: ja jestem?
Jak obliczyć granicę ciągu, który jest przedstawiony w postaci rekurencyjnej? Wiem, że trzeba sprawdić czy ciąg jest monotoniczny i ograniczony a następnie obliczyć granicę, tylko nie wiem, jak to zrobić :???:. Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć np na takim ciągu:

a_{1}=0
a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+6}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2006, o 10:51 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
wskazówka: wypisać kilka pierwszych wyrazów ciągu.

Ciąg można przedstawić jako:

a_{1} = \sqrt{6} \\
a_{n+1} = \sqrt{6+a_{n}} \\

zauważmy ponadto, że dla dowolnych n zachodzi: a_{n} \geq 0

dalej już stosunkowo łatwo ;-) , mianowicie:

jeżeli ciąg ten ma granicę to zachodzi:

\lim\limits_{n\to\infty} a_{n} = \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} = g \\
stąd:

g = \sqrt{6+g}\\
g^{2} = 6+g\\
g^{2} - g -6 = 0\\

g =-2 lub g = \frac{1+5}{2}
a stąd g = g = 3 (bo przecież a_{n} \geq 0)




indukcyjnie pokażemy, że ciąg jest ograniczony z góry przez 3

I. \\
a_{0} \leq 3 ok\\
\\
II.\\
a_{n} \leq 3 /+6\\
a_{n} + 6 \leq 9 / \sqrt{()}\\
\sqrt{a_{n} + 6} \leq 3 (ok)\\

pokazaliśmy że ciąg jest ograniczony z góry i z dołu.
Teraz wystarczy pokazać, że ciąg jest monotniczny (a dokładniej - rosnący) i otrzymamy \lim a_{n} = 3 co jest dobrym ćwiczeniem do ciągów rekurencyjnych. Jeżeli będziesz miał z tym kłopoty to mogę wieczorem dopisać.

pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2006, o 16:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 57
Lokalizacja: ja jestem?
Wielkie dzięki, jak narazie wszystko jest dla mnie jasne. Jakbyś miał czas, to napisz mi jeszcze jak pokazać, że jest monotoniczny. To że jest rosnący, to każdy widzi, tylko nie wiem jak to udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2006, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
wskazówka (ogólna, do ciągów rekurencyjnych): należy przekształcać "od końca". Tzn, poprzez niesprzeczne przekształcenia wyprowadzić z pożądanej nierówności/równości wzory na wyrazy naszego ciągu.

Tak właśnie zrobimy udowadniając monotoniczność tego ciągu (można inaczej, ale daje to dobry pogląd na problem):

a_{n} < 3 \\
a_{n} - 3 < 0 / (\text{przemnóżmy obie strony przez }(2+a_{n})\text{ - można, bo jest to liczba dodatnia}) \\
(a_{n}-3)(a_{n}+2) < 0 \\
{a_{n}}^{2} - a_{n} - 6 < 0 \\
{a_{n}}^{2} < a_{n} + 6 \\
a_{n} < \sqrt{a_{n} + 6}

ćwiczenie: prześledzić przekształcenia "od końca" (właśnie w ten sposób powinno się to pokazywać. Na końcu wystarczy odtworzyć przekształcenia w odwrotnej kolejności, co zostało przedstawione powyżej. Korzystaliśmy oczywiście z tego, iż ciąg jest ograniczony przez 0 i 3, co dowodziliśmy wcześniej)

pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2006, o 22:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 57
Lokalizacja: ja jestem?
Dzięki za wytłumaczenie.
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2012, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: fajs
To jest złe rozwiązanie, bo równie dobrze 810935804275205 jest ograniczeniem górnym, a to nie jest granica. Trzeba pokazać, że jest to ciąg monotoniczny i że 3 jest KRESEM górnym. Fakt, że jest ograniczony mówi nam tylko o tym, że jest zbieżny (każdy monotoniczny i ograniczony jest).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2012, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 1044
Lokalizacja: Ostrołęka
Dobrze, że po 6 latach dałeś znać.

Na początku jest pokazane, że jeżeli granica istnieje, to jest równa albo -2 albo 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 22:14 
Użytkownik

Posty: 181
To może ja odkopie znowu po 6 latach xD
Może ktoś pokazać jak udowodnić tę monotoniczność?
Tzn. tutaj założyliśmy, ze kres górny wynosi 3, a czy istnieje sposób bez tego?

Mam ciekawy przykład

a_{n+1}=\sin (a_{n})

a_{1}=1

Rozwiązałem go przez twierdzenie o 3 funkcjach, ale chciałbym w taki jednolity zgrabny sposób jak panowie wyżej

Granica wynosi 0

Bo g=\sin (g)

f(x)=x-\sin (x)

x-\sin x \ge x-1
oraz
x-\sin x \le x+1

Jedno miejsce zerowe, widać, że x=0

Ale i tak zrobiłem to nielegalnie bo nie udowodniłem monotniczności
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2018, o 01:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Szczerze mówiąc, nie bardzo widzę, co mają uzasadniać te Twoje szacowania. Ja bym postąpił tak:
a_{n+1}=\sin (a_{n})

a_{1}=1
Zacznijmy od monotoniczności ciągu (a_n) określonego jak wyżej.
Skorzystamy z nierówności \sin x<x, prawdziwej dla dowolnego x dodatniego (wynika ona natychmiast z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej, natomiast istnieje też ładniejszy dowód, patrz tutaj) i z prostej indukcji zupełnej. Natomiast nierówność \sin x<x w dodatnich można przepisać w postaci -x<-\sin x dla x>0, czyli z nieparzystości sinusa innymi słowy -x<\sin(-x) dla x>0 (*). Zatem równość \sin x=x może zachodzić (i istotnie zachodzi) tylko dla x=0(&).Zauważmy jeszcze, co oczywiste, że dla dowolnego x\in \left( 0, \frac \pi 2\right) jest \sin x>0.
1^{\circ} Oczywiście a_1=1>0, więc ze wspomnianej nierówności \sin x<x mamy \sin (a_1)<a_1=1.
2^{\circ} Przypuśćmy, że dla wszystkich k \in \NN^+ nieprzekraczających pewnego n \in \NN^+ mamy a_{k+1}=\sin(a_k)<a_k. Stąd musi być w szczególności a_n>0 – patrz (*). Nadto z przechodniości nierówności mamy a_n<a_1=1, czyli w szczególności a_n \in \left( 0, \frac \pi 2\right), więc
a_{n+1}=\sin(a_n)>0 i także a_{n+1}\in (0,1)\subset \left( 0, \frac \pi 2\right).
Mamy więc a_{n+2}=\sin(a_{n+1})<a_{n+1} z nierówności \sin x<x w dodatnich. Ponadto także a_{n+2
}>0.


Ograniczoność ciągu (a_n) wynika zaś natychmiast z powyższych rachunków, gdyż w szczególności wykazaliśmy, że dla każdego n \in \NN jest 1\ge a_n>0.
Zatem na mocy twierdzenia o ciągu ograniczonym i monotonicznym wykazaliśmy, że ciąg (a_n) ma granicę właściwą, nazwijmy ją g.
Dalej tak jak Ty – przechodząc do granicy w zależności rekurencyjnej a_{n+1}=\sin(a_n) (korzystamy z tego, że sinus jest funkcją ciągłą) dostajemy g=\sin(g), czyli z (&) g=0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu rekurencyjnego  Hilyamel  1
 granica ciągu rekurencyjnego - zadanie 3  muller  2
 granica ciągu rekurencyjnego - zadanie 4  robin5hood  3
 granica ciagu rekurencyjnego  Hellbike  0
 Granica ciągu rekurencyjnego - zadanie 5  Kolkaaa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl