szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2011, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Zza monitora
Witam! Ostatnio na sprawdzianie w pierwszej klasie liceum musiałem dowieść że poniższa funkcja jest różnowartościowa. Wcześniej robiłem przykłady tylko z jednym x jeśli ma to z tym jakiś związek, w każdym bądź razie nie byłem w stanie tego udowodnić.

f(x)= x^{3}+2x-3

Skorzystałem najpierw z założenia że
f(x_{1}) - f(x_{1}), potem tego że jedna funkcja równa się drugiej, ale nic z tego nie wyszło


x_{1} ^{3}+2x _{1}-3-x _{2}  ^{3}-2x _{2}+3 \neq 0   \Leftrightarrow 
x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+2x_{1}-2x_{2} \neq 0  \Leftrightarrow 
x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+2(x_{1}-x_{2}) \neq 0  \Leftrightarrow 
x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+2(x_{1}-x_{2}) \neq 0  \Leftrightarrow 
(x _{1} -x _{2})(x ^{2}  _{1}  +x _{1} x _{2} +x ^{2}  _{2})+2(x _{1} -x _{2}) \neq 0 \Leftrightarrow 
(x _{1} -x _{2})(x ^{2}  _{1}  +x _{1} x _{2} +x ^{2}  _{2}+2) \neq 0

W którym momencie powinienem już być w stanie stwierdzić ze ta funkcja jest różnowartościowa?
Korzystałem też z wolframu alpha i wszystkie powyższe równania są nieprawdziwe i to nie tylko wtedy gdy x1=/=x2 :(
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2011, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 492
Lokalizacja: Łódź
Przekształcenia są ok, natomiast do problemu trzeba podejść od drugiej strony. Załóżmy, żex_1\not =x_2 oraz f(x_1)=f(x_2).Różne argumenty ale równe wartości funkcji. Później następują twoje przekształcenia. Dochodzisz do postaci:
(x _{1} -x _{2})(x ^{2} _{1} +x _{1} x _{2} +x ^{2} _{2}+2)=0 i teraz wnioskujesz, że powyższa równość zachodzi gdy x_1=x_2 co jest sprzeczne z założeniem. Zatem przypuszczenie, że dla różnych argumentów możemy osiągnąć równe wartości było fałszywe.

takie dowodzenie nazywamy dowodzeniem "nie w prost".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2011, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Zza monitora
Bardzo dziękuję za wyjaśnienie, szkoda tylko, że nie byłem przygotowany na takie zadania :(
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2011, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 492
Lokalizacja: Łódź
Jeszcze tylko jedna uwaga.
Z postaci ostatniego równania wnioskujemy, że pierwszy czynnik jest równy zero wtedy i tylko wtedy. gdy x_1=x_2.

Natomiast trzeba jeszcze pokazać, że drugi się nie zeruje. To wymaga jeszcze pewnego wysiłku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2011, o 22:15 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Zza monitora
Jeszcze takie pytanie - czy rozwiązywanie takich zadań jest w ogóle w programie pierwszej klasy liceum? Przeglądałem dokładnie cały podręcznik przed sprawdzianem razem ze zbiorem zadań i nie natknąłem się na taki typ zadania ani razu
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Różnowartościowość funkcji  Marie  1
 różnowartościowość funkcji - zadanie 4  xxxxx  1
 Różnowartościowość funkcji - zadanie 6  Kamila  4
 Różnowartościowość funkcji - zadanie 7  qwerty1  3
 różnowartościowość funkcji - zadanie 8  madziorek  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl