szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2011, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 48
Lokalizacja: krk
Sprawdzić iniektywność funkcji: f(x)=x+[\frac{1}{x}], gdzie x\in(0,1). Mój pomysł jest taki: nasza funkcja jest iniekcja wtw iniekcją jest funkcja f'(x)=\frac{1}{x}+[x], gdzie x\in(1, \infty ) (przydałaby mi się rada jak krótko i ściśle wysłowić ze to prawda). Dalej zajmujemy się funkcją f'. Można wykazać, że na przedziałach (x,x+1) gdzie x\in\mathbb{Z} nasza funkcja jest ściśle malejąca, stąd na przedziałach jest iniektywna. Teraz chciałabym pokazać, że "przedziałami" jest rosnąca, tzn. dla dowolnych x,y, x\in (a,a+1) y\in(a+1,a+2) to f'(x)<f'(y) czyli, że max(f(x):x\in (a,a+1))<min(f(y):y\in(a+1,a+2)) więc funkcja jest różnowartościowa nie tylko "na" każdym przedziale, ale też "przedziałami". Zdaje sobie sprawę jak nieprecyzyjnie jest to wypowiedziane i byłabym bardzo wdzięczna za podpowiedź jak to fajnie zapisać.
(oczywiście [x] to ma być funkcja Floor(x))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2011, o 15:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 685
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Niech x _{1}, x_{2} \in (0,1) \\ \\oraz
\\ \\  f(x_{1})=f(x_{2}) \\
zatem:
x_{1}+[\frac{1}{x_{1}}] = x_{2}+[\frac{1}{x_{2}}] \Rightarrow x_{1}+[\frac{1}{x_{1}}]-(x_{2}+[\frac{1}{x_{2}}])=0. Ale ponieważ [ \frac{1}{x_{1}}]-[\frac{1}{x_{2}} ]\in Z, to również x_{1}-x_{2}\in Z. Zatem, ponieważ x _{1}, x_{2} \in (0,1), to x _{1}=x_{2}, co kończy dowód.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zadania z funkcją  Jawana  5
 Miejsce Zerowe funkcji - 3 ciekawe zadania  K7  2
 zadania z funkcjami i zbiorami  Comom  2
 Miejsce zerowe funkcji, zadania 2  Kanarek  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl