szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2011, o 21:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1599
Lokalizacja: Łódź
Czy zachodzi dla f:K\to \mathbb{R} ściśle wypukłej i zbioru wypukłego K

f(t_1 x_1+\ldots +t_n x_n)<t_1 f(x_1)+\ldots +t_n f(x_n),\ n \ge 2

dla t_1,\ldots ,t_n>0,\ \sum_{i=1}^n t_i=1 oraz x_i\in K,\ i=1,\ldots ,n takich, że istnieją i_1,i_2,\ i_1\not=i_2 dla których x_{i_1}\not=x_{i_2}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2011, o 23:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17949
Lokalizacja: Cieszyn
Jeśli x_1,\dots,x_n są wierzchołkami sympleksu - to jak najbardziej. Inaczej mogą się pojawić problemy z niejednoznacznością kombinacji wypukłej - zob. np. środek kwadratu jako środek jednej i drugiej przekątnej. Wtedy ewentualnie nierówność mogłaby nie zachodzić.

Teraz już trochę późno na analizę, ale spróbuj prześledzić indukcyjny dowód nierówności Jensena dla "zwykłej" funkcji wypukłej. Kiedy ewentualnie mogłoby się coś łamać.

Pytanie niewątpliwie ciekawe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2011, o 08:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1599
Lokalizacja: Łódź
Indukcyjnie. Dla n=2 oczywiste.

Załóżmy, że zachodzi dla k \le n,\ n>2. Pokażemy, że zachodzi dla n+1. Wybierzmy trzy punkty x_{i_1},x_{i_2} i x_j,\ j\not= i_1,\ j\not= i_2. Mamy dwa przypadki:

1) x_j=x_{i_1} lub x_j=x_{i_2}

2) x_j\not=x_{i_1} i x_j\not=x_{i_2}.

W pierwszym załóżmy, że x_j=x_{i_1} wtedy łącząc te punkty w jeden (t_j+t_{i_1})x_j korzystamy z zał. ind.

W drugim łączymy punkty x_{i_1},x_{i_2} następująco (t_{i_1}+t_{i_2})(\frac{t_{i_1}}{t_{i_1}+t_{i_2}}x_{i_1}+\frac{t_{i_2}}{t_{i_1}+t_{i_2}}x_{i_2}). Jeżeli x_j nie należy do odcinka \frac{t_{i_1}}{t_{i_1}+t_{i_2}}x_{i_1}+\frac{t_{i_2}}{t_{i_1}+t_{i_2}}x_{i_2} to korzystamy z zał. ind. Jeżeli należy to łączymy punkty x_{i_1},x_j jak wyżej i wtedy x_{i_2} nie należy do odpowiedniego odcinka i możemy skorzystać z zał. ind.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ograniczoność funkcji. Nierówność na kresach.  reksiak  0
 Dowód nierówności Jensena  neworder  1
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 rozwiąz nierówność  prezio1988  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl