szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2011, o 16:43 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, że ( k^{2} +k+1)|[ k^{n+2} +(k+1)^{2n+1}]


Założenie

[ k^{n+2} +(k+1)^{2n+1}]=m( k^{2} +k+1)   

   m \in N

Krok (n+1)
[ k^{n+3} +(k+1)^{2n+3}]=[ k^{n+2} \cdot k +(k+1)^{2n+1} \cdot (k+1)^{2}]

I teraz co dalej?Ja wymyśliłem coś takiego, ale wydaje mi się to beznadziejne...

[k^{n+2}+(k+1)^{2n+1}] \cdot  \frac{ k^{n+3} +(k+1)^{2n+3}}{k^{n+2}+(k+1)^{2n+1}}


następnie


m( k^{2} +k+1)  \cdot  \frac{ k^{n+3} +(k+1)^{2n+3}}{k^{n+2}+(k+1)^{2n+1}}


Proszę o jakieś bardziej sensowne propozycje :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2011, o 16:50 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Może pomocne będzie skorzystanie z założenia indukcyjnego już na początku?
Skoro k^{n+2}+(k+1)^{2n+1}=m(k^2+k+1), to (k+1)^{2k+1}=m(k^2+k+1)-k^{n+2}. Zatem mamy k^{n+2}\cdot k+(k+1)^{2k+1}\cdot(k+1)^2=k^{n+2}\cdot k+[m(k^2+k+1)-k^{n+2}]\cdot(k+1)^2.
Spróbuj poprowadzić rozumowanie tym tropem, zwykle przy indukcji związanej z podzielnością to pomaga.

Pamiętaj o pierwszym kroku indukcyjnym!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2011, o 17:43 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Warszawa
Hmm, czyli mamy takie coś:

k^{n+2}\cdot k+[m(k^2+k+1)-k^{n+2}]\cdot(k+1)^2=k^{n+2}(k-(k+1)^{2})+m(k^2+k+1)(k^{2}+2k+1)=-k^{n+2}(k^{2}+k+1)+m(k^2+k+1)(k^{2}+2k+1)=(k^{2}+k+1)[m(k^2+2k+1)-k^{n+2}]


a tu jasno widać, że wyrażenie to jest podzielne przez (k^{2}+k+1) bez względu na to jakie mamy m. Zgadza się?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2011, o 19:18 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Tak, masz rację :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 13 dla określonego wzoru - zadanie 2  mnich9131  4
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 Indukcja matematyczna - podzielność liczby  Effi  3
 Wykazać podzielność  Undre  4
 Indukcja, wykazać podzielność.  Idioteque  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl