szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2006, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: śląskie
1. Wykaż, ze dla każdej liczby naturalnej n liczba n^{5} - n jest podzielna przez 30

2. Wykaż, ze jesli p jest liczbą pierwszą wieksza od 3, to p^{2} - 1 jest liczbą podzielną przez 24.

3. Wykaż, ze jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n również ma tę własność.

4. Wykaż, ze jeśli x+y+z=0, to xy+yz+zx \leq 0.

Z góry dziekuje za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2006, o 22:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 955
Lokalizacja: BFGD
1.Bardziej elementarny sposób niż indukcja:
n^{5}-n=n(n^{2}-1)(n^{2}+1)=(n-1)n(n+1)(n^{2}+1)
n-1, n, n+1 to 3 kolejne liczby całkowite, więc dzielą się przez 3! czyli 6. Pozostaje nam tylko udowodnić, że całe wyrażenie będzie też podzielne przez 5.
n przy dzieleniu przez 5 może dać reszty:0,1,2,3,4
Kiedy reszta wyniesie 0 to koniec zadania
Kiedy reszta wyniesie 1 to n-1 będzie podzielne przez 5
Kiedy reszta wyniesie 2 to x�+1 będzie podzielne przez pięć (tu do dowodu można użyć kongruencji)
Kiedy reszta wyniesie trzy to znowu x�+1 będzie podzielne (dowód: kongruencja)
Kiedy reszta wyniesie 4 to n+1 będzie podzielne przez 5.
2.Trzeba jeszcze założyć, że p jest większe od 3.
p^{2}-1=(p+1)(p-1)
Trzeba sprawdzić podzielność przez 8 i przez 3.
Przez 8:
Każda liczba pierwsza jest zarazem nieparzysta więc p-1 i p+1 to kolejne liczby parzyste. Wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna jest zawsze podzielna przez 4, a druga jest podzielna przez 2 więc razem ich iloczyn jest podzielny przez 8.
Przez 3:
przy dzieleniu przez trzy można uzyskać reszty 0,1,2. W wypadku liczby pierwszej nie możemy uzyskać reszty zero ponieważ liczby pierwsze dzielą się tylko przez 1 i przez siebie, a trójkę wyrzuciliśmy z założeń.
Kiedy p zwraca resztę z dzielenia 1 to p-1 dzieli się przez 3. Jeżeli zwraca dwójkę, to p+1 się dzieli przez 3.
3.n=a^{2}+b^{2}
5n=5a^{2}+5b^{2}=(2a+b)^{2}+(a-2b)^{2}
4.Pierwsze równanie do kwadratu:
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=0
xy+yz+zx=-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}
Podstawiasz to co ci wyszło do nierówności. suma kwadratów jest nieujemna więc z tym minusem przed ułamkiem całe wyrażenie jest mniejsze równe zero c.b.d.u.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2006, o 22:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1228
Lokalizacja: Pomorze
Czasu nie mam więc krótko co do 1

1Sprawdzam dla n =1

1-1=0=30*0

2

Z(n):n^{5}-n=30a
T(n+1): (n+1)^{5}-(n+1)=30b

Dalej sobie poradzisz tylko trzeba L(n+1)=... i udowodnić że to jest równe 30b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2006, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
no nie wiem tej czy to jest takie proste...

tam wychodzi (n^5-n)+(5n^4+10n^3+10n^2+5n).. pierwszy nawias jest podzielny z założenia.. trzeba sprawdzić czy drugi jest...

na pewno jest podzielny przez 5 ale czy też przez 30??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2006, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kraków
1.
rozkladasz na czynniki:
n^{5}-1=n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)=n(n-1)(n+1)(n^{2}-4+5)=\\=n(n-1)(n+1)[(n-2)(n+2)+5]
czyli jak widac mamy iloczyn 3 kolejnych liczb: n,n-1,n+1 czyli napewno liczba jest podzielna przez 6, jezeli wsrod liczb n-1,n,n+1 nie wystepuje liczba podzielna przez 5 to napewno wystepuje w n-2 lub n+2 a ze 5 tez dzieli sie przez 5 to napewno wszystko dzieli sie przez 5 i 6 czyli generalnie przez 30
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2006, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
4. x+y+z\geq0

zatem (x+y+z)^2\geq0

z tego wynika że x^2+2xy+y^2+2yz+z^2+2xz\geq0

wiadomo że x^2+y^2+z^2 dla każdego x,y,z \geq0

zatem aby suma była równa zero 2(xy+yz+xz)\leq0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 gru 2006, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: śląskie
Dzięki :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Uzasadnić podzielność liczby przez 33.  syntezator  4
 Podzielność przez iloczyn trzech liczb.  niepokonanytornister  1
 Wykaż podzielność ;/  wojtek6214  2
 Podzielność przez 4  monikap7  1
 Podzielność przez 3 - zadanie 13  Misia6363  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl