szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 15:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 128
Oto zadanie do rozwiązania*
Liczba a^{5} przy dzieleniu przez 7 daje resztę 3. Jaką resztę przy dzieleniu przez 7 daje liczba a?
a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
e) 3
f) 4
g) 5
h) 6
i) -6
j) 0

*Informuję, że jest to zadanie z obecnej edycji matmixa, z zamkniętego zestawu. Po prostu nie mogę doczekać się odpowiedzi i proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 17:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Reszta ta jest równa pięć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 18:50 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
a jak do tego dojść?

a ^{5} = 7k +3

Lecz nie mam pomysłu co by tu zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 1106
Lokalizacja: toruń
zacznij odwrotnie tzn. a=7k+5 i zauważ, że wtedy a^5=(7k+5)^5 \equiv 5^5 \equiv 3 mod 7
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 19:24 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Nie przypadkiem mamy zacząć ...+3? Mógłbyś ułożyć kongruencje po kolei (tylko jedno przystanie), dopiero co zacząłem się ich uczyć i nie opanowałem ich perfekcyjnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 1106
Lokalizacja: toruń
ale to liczba a^5 daje taką resztę, stąd musisz sprawdzić dla jakiego l \in \left\{ 0,1,2,...,6\right\} liczba (7k+l)^5 daję przy dzieleniu przez 7 resztę 3, a teraz zauważ, że wszystkie składniki oprócz l^5 będą dzieliły się przez 7. Stąd wstawiasz za l kolejne liczby i któraś będzie pasowała. W tym wypadku jest to 5, bo 5^5 przy dzieleniu przez 7 daję resztę 3. Pozdrawiam! Mam nadzieję, że w miarę jasno to wytłumaczyłem:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 19:47 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Czyli: (7k+l) ^{5} \equiv 3 \ (mod \ 7)

Tylko teraz mam problem jak tą liczbę znaleźć, bo jak będę postawiał pod l to pozostanie mi i tak jedna zmienna k. Pozostaje wysoka potęga, skąd mam wiedzieć, że inne wyrazy będą podzielne przez 7?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 19:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Wynika to bezpośrednio z dwumianu Newtona :)

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 19:54 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
No niestety nie umiem i nie miałem dwumianu Newtona.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 19:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Chodzi tu o to, że każdy składnik oprócz ostatniego będzie zawierał jakąś potęgę (nie zerową) 7k czyli będzie się dzielił przez 7.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 20:06 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Już mniej więcej rozumiem, gdy podnosimy do potęgi przykładowo piątej to każdy wyraz, oprócz ostatniego będzie miał 7k czyli będzie podzielny przez 7, a ostatnia liczba będzie tylko do potęgi piątej.

Z tego wynika, że:
l^{5} \equiv 3 \ (mod \ 7) gdzie l  \in \left\{ 0; 1, ...; 6\right\}

Da się jeszcze coś z tą kongruencją zrobić, czy już trzeba użyć kalkulatora?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 20:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
W takim wypadku można podstawić po kolei te wartości l i zobaczyć, dla jakich dana kongruencja jest prawdziwa, kilka przypadków można od razu w pamięci sprawdzić, a pozostałe można równie szybko przeanalizować ,,na piechotę" ;) Oczywiście z niektórymi wartościami można również pokombinować, np dla 6 mamy 6 \equiv (-1) (mod \ 7)  \Rightarrow 6^{5} \equiv (-1) (mod \ 7) czyli od razu 6 odpada.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 20:23 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Z piątką mogę zrobić tak?

5 ^{5} \equiv 2 ^{5}  \ (mod \ 7)\\
5 ^{5} \equiv 32  \ (mod \ 7)\\
5 ^{5} \equiv 7 \cdot 4 +3  \ (mod \ 7)\\
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 20:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Nie do końca, ponieważ nie jest prawdą, że 5^5 \equiv 2^5 (mod \ 7), zauważ że:

5 \equiv (-2) (mod \ 7)

5^{5} \equiv (-2)^{5} \equiv -32 \equiv 3 (mod \ 7)

cnd.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2011, o 20:37 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Ok, już rozumiem. Dziękuje.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Reszta z dzielenia - zadanie 27  claher  1
 reszta z dzielenia - zadanie 40  Mithrandir  1
 Reszta z dzielenia - zadanie 138  SirSwistak  1
 reszta z dzielenia - zadanie 63  aska0  12
 Reszta z dzielenia - zadanie 88  Itak  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl