szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 16:11 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Bydgoszcz
Witam, koś może pomoże i da jakieś w wskazówki :) ?

Wykazać, że liczba 2010^{10}+50^{10}-2 jest podzielna przez 7.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 16:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Zauważ, że

2010 \equiv 1 \pmod{7} \wedge 50 \equiv 1 \pmod{7}  \Rightarrow 2010^{10} \equiv 1 \pmod{7} \wedge 50^{10} \equiv 1 \pmod{10}

Dodając stronami te 2 kongruencje otrzymujemy:

2010^{10} + 50^{10} \equiv 2 \pmod{7}   \Leftrightarrow  2010^{10} + 50^{10} - 2 \equiv 0 \pmod{7}

cnd.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 19:09 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Opole
A może zrobi to ktoś bez KONGURENCJI? I da mi znac na maila :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 19:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Ukryta treść:    

2010=2009+1=7p+1

50=49+1=7q+1

Więc:

2010^{10}+50^{10}-2=\left( 7p+1\right)^{10}+\left( 7q+1\right)^{10}-2=7p'+1+7q'+1-2=7(p'+q')
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2013, o 01:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Vether napisał(a):
Ukryta treść:    



Skoro chodzi o podzielność przez 7, wszędzie jest \pmod{7} można się domyślić że jest literówka i zamiast 10 ma być 7..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 08:55 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Opole
A to: 44444 ^{44444} +3333 ^{3333} -2 dzieli przez 7 - zdaje się tak samo działa?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 09:21 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Elementarne rozwiązanie pierwszego, bez kongruencji, które można zaaplikować do drugiego:

2010^{10}+50^{10}-2=(2010^{10}-1)+(50^{10}-1)=\\
(2010-1)(2010+2010^2+\ldots+2010^9)+(50-1)(50+50^2+\ldots+50^9)=\\
2009\cdot A+49\cdot B

Wystarczy zauważyć, że 7|2009 oraz 7|49.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 19:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
44444 ^{44444} +3333 ^{3333} -2 = \left( 44443+1\right)^{44444}+\left( 3332+1\right)^{3333}-2 =

=\left( 7q+1\right)^{44444}+\left( 7p+1\right)^{3333}-2=7q'+1+7p'+1-2=7\left( q'+p'\right)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy n-k jest podzielne przez 198?  ja_czyli_kluska  1
 Podzielność z potęgami o różnych podstawach  bento  4
 Wykaż podzielność liczb - zadanie 2  maduska121  1
 podzielnosc w zbiorze liczb naturalnych  magmag19  2
 Podzielność przez 30. - zadanie 2  klaudiak  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl