szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 16:22 
Użytkownik

Posty: 244
Lokalizacja: Nowy Sącz
Wykaż, że liczba n^{5}-n jest podzielna przez 30.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 16:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Zauważ, że z Małego Twierdzenia Fermata mamy, że dana liczba dzieli się przez 5, pozostaje wykazać podzielność przez 6, zauważmy, że:

n^5-n = n(n^4-1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1)

Ale (n-1)n(n+1) będzie zawsze podzielne przez 6, ponieważ jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, w których zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 3 i przynajmniej jedna liczba podzielna przez 2.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 16:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2489
n=k \\ k=k+1 \\ (k+1)^{5}-(k+1)=k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1-k-1=(k^{5}-k)+5(k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k)

Jeżeli k^{5}-k jest wielokrotnością 5 to ponieważ drugi składnik także jest taki to nasza liczba musi być wielokrotnością liczby 5, zatem podzielna przez 30. Oczywiście dla pewnego k będzie całkowicie podzielna przez 30.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2011, o 16:36 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2011, o 13:11 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Vax, jakbyśmy tak napisali na maturze to byśmy dostali max punktów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2011, o 13:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Wydaję mi się, że tak, dodatkowo wszystko słownie wytłumaczyliśmy, aczkolwiek uważam, że jeżeli takie zadanie byłoby na maturze lepiej różnymi twierdzeniami posługiwać się w ostateczności, a na początku próbować to udowodnić elementarnie np tak jak napisał smigol ;)

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż podzielność - zadanie 10  Zahion  8
 wykaż podzielność - zadanie 11  nonienonie+  2
 Wykaż podzielność - zadanie 7  marcin2447  1
 Wykaż podzielność - zadanie 3  Juliaaaaa14  7
 Wykaż Podzielność - zadanie 5  buggi  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl