szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
Witam, mam takie zadanko:

ciąg (a _{n}) definiujemy rekurencyjnie:

\begin{cases} a _{1}=2\\ a _{n+1} =  \frac{a _{n} }{ a_{n}+1 }  \end{cases}.

dla każdego n \ge 1

Polecenie brzmi: za pomocą indukcji matematycznej, udowodnij, że dowolny wyraz ciągu można zapisać w postaci ogólnej:

a _{n} =  \frac{2}{2n-1} dla każdego n \ge 1



Nie wiem jak to zrobić, aby było poprawnie merytorycznie, jak bardzo mogę korzystać z tego co mam dane, aby to udowodnić. Dawno nie używałem indukcji.. Mimo że ją miałem w szkole, to w programie jej nie ma i na maturze nie będzie obowiązywała.. Zadanie jednak mnie zaciekawiło i chciałbym wiedzieć jak to można zrobić, bo zawsze udowadniałem tylko proste równości tą metodą i nie była to żadna filozofia.. Czy tutaj jest?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 15:34 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
1. Sprawdź czy dla n=1 się zgadza.

2. Załóż, że
a _n = \frac{2}{2n-1}

i korzystając ze wzoru a _{n+1} = \frac{a_n}{a_n+1} sprawdź, że
a _{n+1} = \frac{2}{2(n+1)-1}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 15:47 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
ok, tak myślałem, wychodzi oczywiście L=P.. aczkolwiek bałem się że korzystam z tego co mam udowodnić.. no w sumie w indukcji poniekąd tak jest.. dziękuję!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 17:04 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
adambak napisał(a):
aczkolwiek bałem się że korzystam z tego co mam udowodnić.. no w sumie w indukcji poniekąd tak jest..

W indukcji zdecydowanie tak nie jest.

A z formalnego punktu widzenia brakuje ostatniego kroku, czyli skorzystania z zasady indukcji matematycznej. To, co napisał norwimaj, to tylko sprawdzenie założeń tej zasady.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
aha... serdecznie dziękuję za wyprowadzenie z błędu, ale mógłby Pan rozwinąć tą myśl? Czego brakuje? Bo jak powiedziałem chciałem sobie sięgnąć do indukcji w ramach przypomnienia ponadprogramowego, może się przyda później. Ale jak widać chyba nie czuję na czym polegają te implikacje, co tak naprawdę przekonuje nas o dowodzie..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Chodzi tylko o to, że jak będziesz pisał rozwiązanie na klasówce, to na koniec musisz napisać:
Cytuj:
Zatem z twierdzenia o indukcji matematycznej
a _{n} =  \frac{2}{2n-1} dla każdego n \ge 1.

albo coś podobnego.

Ja to pominąłem, ale z kontekstu można się domyślić o co mi chodziło.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 17:33 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
a drugie pytanie? w celu udowodnienia nie korzystamy z tego co mamy udowodnić, byłoby to bez sensu. Ale jednak podstawiamy a _n = \frac{2}{2n-1}, czy istotne jest to jak napisałeś, że tylko zakładamy to? jestem blisko, czy nie o to chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 17:49 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
To jest tak, że chcesz udowodnić, że dla każdego n\in\mathbb{N}_+ zachodzi zdanie T_n.
Jeśli chcesz przy tym skorzystać z indukcji matematycznej, to musisz pokazać dwie rzeczy:
  • T_1 jest prawdziwe
  • Dla n\in\mathbb{N}_+, jeśli T_n jest prawdziwe, to T_{n+1} też jest prawdziwe.

Drugi warunek to implikacja, więc jego dowód wygląda mniej więcej tak:
Cytuj:
Załóżmy, że zachodzi T_n. \ldots. W takim razie zachodzi T_{n+1}.


-- 19 mar 2011, o 16:54 --

Jeszcze dokładniej:

Cytuj:
Ustalmy n\in\mathbb{N}_+. Załóżmy, że zachodzi T_n. \ldots. W takim razie zachodzi T_{n+1}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 17:57 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
norwimaj napisał(a):
Ja to pominąłem, ale z kontekstu można się domyślić o co mi chodziło.

Oczywiście, ale pod warunkiem, że się o tym wie. Na mój gust większość uczniów uważa, że dowód indukcyjny ogranicza się do tego, co jest de facto sprawdzeniem założeń zasady indukcji matematycznej - nie rozumieją indukcji, znają tylko algorytm na "dowód indukcyjny w dwóch krokach".

adambak napisał(a):
a drugie pytanie? w celu udowodnienia nie korzystamy z tego co mamy udowodnić, byłoby to bez sensu. Ale jednak podstawiamy a _n = \frac{2}{2n-1}, czy istotne jest to jak napisałeś, że tylko zakładamy to? jestem blisko, czy nie o to chodzi?

Nie należy mylić "dowodu indukcyjnego" z "dowodem drugiego z założeń zasady indukcji matematycznej" (można go również w skrócie nazwać "dowodem kroku indukcyjnego"). Otóż dowód indukcyjny polega na sprawdzeniu, czy zachodzą oba założenia zasady indukcji matematycznej, a następnie na zastosowaniu tej zasady. Dowód kroku indukcyjnego polega na udowodnieniu prawdziwości twierdzenia pomocniczego, które mówi, że dla dowolnej liczby naturalnej n z prawdziwości badanej własności \varphi dla n wynika jej prawdziwość dla n+1. Wygląda on zatem tak:

Ustalmy dowolne n\in\mathbb{N} takie, że zachodzi \varphi(n). Pokażemy, że wówczas zachodzi \varphi(n+1). (i teraz to pokazujemy)

Niezrozumienie tej różnicy powoduje, że często można spotkać "dowód", zaczynający się tak:

Załóżmy, że dla dla dowolnego n\in\mathbb{N} zachodzi \varphi(n).

Wtedy mamy oczywiście błędny "dowód" przez założenie tezy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 18:04 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
bardzo dziękuję za tak dokładne wytłumaczenie, teraz już jest to jasne..

pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
To ja jeszcze dodam cytat z "Komentarza do podstawy programowej przedmiotu matematyka".

Cytuj:
Co z zasadą indukcji?
Zasada indukcji matematycznej została usunięta całkowicie, również z zakre-
su rozszerzonego. Jest specyficznie trudna. Stosowanie jej stało się pewnym
rytuałem, którego sens pojmowali nieliczni uczniowie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 18:11 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
Śliczne. Ale ostatnie zdanie niestety jest prawdziwe.

A to taka prosta zasada... pod warunkiem, że się ją zrozumie.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2011, o 18:12 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
jak widać coś w tym chyba jest, jestem n-tym przeciętnym uczniem, dla każdego n+1-tego przeciętnego ucznia zachodzi to samo z moich obserwacji ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza wspólna wielokrotność-dowód.  hUmanitO  8
 Przeprowadź dowód indukcyjny nierówności  Anonymous  15
 Dowód indykcyjny permutacji bez powtózeń  noiprox  3
 Dowod indukcyhjny nierownosci.  pavlo4  2
 Udowodnij wzór - zadanie 2  Tys  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl