szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2011, o 17:43 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gliwice
Udowodnij, że dla n  \in  N _{+} wyrażenie 2^{n+2}+3^{2n+1} jest podzielne przez 7.

proszę o pomoc
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2011, o 17:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4669
Lokalizacja: Gdańsk
Ostatni post: 158666.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2011, o 17:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Albo indukcyjnie, albo zauważ, że:

3^2 \equiv 2 (mod \ 7)  \Rightarrow 3^{2n} \equiv 2^n (mod \ 7)  \Rightarrow 3^{2n+1} \equiv 2^n \cdot 3 (mod \ 7)

Więc wystarczy udowodnić, że 2^{n+2} + 2^n \cdot 3 dzieli się przez 7:

2^{n+2} + 2^n\cdot 3 = 2^n (2^2 + 3) = 2^n \cdot 7

Skoro jednym z czynników jest 7 dane wyrażenie dzieli się przez 7.

Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 mar 2011, o 17:53 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
Dopiszę dowód indukcyjny.

Niech

a_n=2^{n+2}+3^{2n+1}

wówczas krok indukcyjny wygląda tak:

a_{n+1}=2^{n+3}+3^{2n+3}=2\cdot 2^{n+2}+9\cdot 3^{2n+1}=\\=2\cdot (2^{n+2}+3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}=2a_n+7\cdot 3^{2n+1}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl