szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2011, o 17:36 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Krynica-Zrdój
Liczby dodatnie a,b,c są długościami boków trójkąta i spełniają warunek
ab + bc + c a = 27.
Uzasadnić, że obwód trójkąta jest nie mniejszy od 9 i mniejszy od 11.
Jak rozwiązać takie zadanie,bardzo proszę chociaż o jakieś wskazówki ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2011, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Imielin
Udowodnię może, że obwód jest mniejszy od 11:
ab+ac+bc=27 \Rightarrow 2ab+2ac+2bc=54
A zatem a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=54
Z nierówności trójkąta mamy a+b>c, b+c>a, a+c>b czyli
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)<a^{2}+b^{2}+c^{2}
a^{2}+b^{2}+c^{2}<54
a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc<108 czyli:
a+b+c< \sqrt{108}<11 co należało dowieść.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2011, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 1038
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Udowodnię, że obwód jest nie mniejszy od 9.
ab+bc+ac=27
(a+b+c) ^{2}=a ^{2} +b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac= \frac{a ^{2} +b^{2}}{2}+ \frac{b^{2}+c^{2}}{2}+ \frac{a ^{2} +c^{2}}{2}+54 \ge ab+bc+ac+54=27+54=81

czyli a+b+c \ge 9 ,c.n.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2011, o 21:18 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Krynica-Zrdój
Marian517 napisał(a):
(...)
Z nierówności trójkąta mamy a+b>c, b+c>a, a+c>b czyli
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)<a^{2}+b^{2}+c^{2}
a^{2}+b^{2}+c^{2}<54
a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc<108 czyli:
a+b+c< \sqrt{108}<11 co należało dowieść.

od tego momentu nie ogarniam ;) jakaś podpowiedź skąd się wzięła ta nierówność:
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)<a^{2}+b^{2}+c^{2}?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obwód trójkąta - zadanie 38  Tasiak12  1
 obwód trójkąta - zadanie 19  nogiln  1
 obwód trójkąta - zadanie 44  kuband  2
 Obwód trójkąta - zadanie 62  matematyk261  2
 Obwód trójkąta - zadanie 7  gosieniac  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl