szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 mar 2011, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 278
Wyznaczyć ilość różnych rozwiązań równania x_1+x_2+x_3+x_4=30 w zbiorze liczb całkowitych, a ile w naturalnych.

Proszę o pomoc i wyjaśnienie, z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 mar 2011, o 19:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Przyjmijmy, że:

x_1 + x_2 = 30

Na mocy tego x_3=-x_4. W zbiorze liczb całkowitych istnieje nieskończenie par liczb przeciwnych do siebie.

Natomiast w zbiorze liczb naturalnych (niech 0 \in \mathbb{N}) nie możemy operować liczbami ujemnymi, zatem:

x_1, x_2,x_3,x_4 \ge 0

Problem pomocniczy: ile jest rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych a+b=c, a ile a+b+c=d?

Co do pierwszego, to innych możliwości niż a oraz c-a nie ma, co daje nam równe c+1 (ilość elementów \left\lbrace 0,1,2,\ldots,c\right\rbrace) par rozwiązań.

Drugi problem łatwiej zobrazować, pokazując metodykę działania. Niech a=0, stąd:

b=i  \Rightarrow c=d-i, gdzie i \in \left\lbrace 0,1,2,\ldots,d\right\rbrace

Dla a=0 wychodzi d=1 rozwiązań. Zwiększmy a o 1 - na mocy tego b+c=d-1. Tym razem:

b=i\Rightarrow c=d-i-1, gdzie i \in \left\lbrace 0,1,2,\ldots,d-1\right\rbrace

Sumując, daje nam to d rozwiązań. Myślę, że ułożeniem formuły, która doda wszystkie możliwe rozwiązania a+b+c=d nie będzie problemu. Teraz tylko uogólnić na więcej zmiennych, podstawić i wychodzi :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 mar 2011, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 278
Słuchaj a w rozwiązaniu nie powinno sie pojawić coś takiego: {n+k-1\choose k}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 mar 2011, o 20:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Powinno.

EDIT: Ale nie jest to obligatoryjne :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2011, o 06:40 
Użytkownik

Posty: 278
A mógłbyś napisać jak to idzie tą metodą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2011, o 14:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Dla 4 zmiennych będzie to, zgodnie z tym, co napisałem powyżej:

a+b+c+d=n

Zaczynamy od a=0, b=0 \Rightarrow c=i, d = n-i

Liczba rozwiązań dla takich par to oczywiście n+1. Zwiększamy b o 1, co daje nam n-1 rozwiązań. Powtarzamy kroki aż do b=n. Reasumując, do tej pory uzyskaliśmy:

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
b=0 & b=1 & \ldots & b=n \\ \hline
n+1 & n & \ldots & 1 \\ \hline
\end{tabular}

Sumując:

\sum_{i=0}^{n} n-i+1 = \frac{1}{2} \left(n+1\right)\left(n+2\right)

Zwiększając teraz a o 1. Powtórzmy całą metodę opisaną powyżej, dla zobrazowania rozpiszę ją mimo wszystko:

a=1, b=0 \Rightarrow c=i, d = n-i-1

Dla b=0 mamy n rozwiązań (o jedno mniej niż poprzednio, ponieważ a się zwiększyło 1), b=1 implikuje n-1, natomiast ostatnim krokiem będzie b=n-1, co można zapisać również w tabelce:

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
b=0 & b=1 & \ldots & b=n-1 \\ \hline
n & n-1 & \ldots & 1 \\ \hline
\end{tabular}

Również sumujemy:

\sum_{i=0}^{n-1} n-i = \frac{1}{2} n\left(n+1\right)

Jak widać, można przewidzieć następne elementy :).

Powtarzamy kroki, tym razem dla rosnącego a - i znów tabelka :).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
a=0 & a=1 & \ldots & a=n-1 & a=n \\ \hline
\displaystyle \frac{1}{2} \left(n+1\right)\left(n+2\right) & \displaystyle  \frac{1}{2} n\left(n+1\right) & \ldots & \displaystyle  \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 & 1 \\ \hline
\end{tabular}

No to ostatni krok, sumujemy! :)

\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{2}\left(i+1\right)\left(i+2\right) = \frac{1}{6}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)

No tak, ale gdzie symbol Newtona? Zauważmy, że:

\frac{1}{6}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)= {n+3 \choose n}

Dlaczego akurat n+3 i n?

Napisałeś: {n+k-1\choose k} - n tutaj to liczba zmiennych, natomiast k to "nasze" n. I się zgadza.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2011, o 19:47 
Użytkownik

Posty: 278
Dobrze tylko jak liczysz sumy tych szeregów bo ja biorę wyraz pierwszy + ostani na dwa razy różnica i nie wychodzi to co napisane.
I skąd się bierze że:
JakimPL napisał(a):
No tak, ale gdzie symbol Newtona? Zauważmy, że:

\frac{1}{6}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)= {n+3 \choose n}

Dlaczego akurat n+3 i n?

Napisałeś: {n+k-1\choose k} - n tutaj to liczba zmiennych, natomiast k to "nasze" n. I się zgadza.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2011, o 20:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Rozpisz sobie symbol Newtona po prawej stronie jako iloraz odpowiednich silni oraz poskracaj. Analogiczny proces można przeprowadzić w drugą stronę. Nie jest ten proces konieczny, iloczyn może zostać.

Pierwsze sumy to po prostu ciągi arytmetyczny o różnicy 1. Z tym raczej nie powinno być problemów.

Ostatnia suma może być problematyczna, jednak:

\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{2}\left(i+1\right)\left(i+2\right) =\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n} \left(i+1\right)\left(i+2\right) = 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \ldots n(n+1) + (n+1)(n+2)

Dalsze wyjaśnienie może będzie pomocne, zawiera metodę postępowania:

187819.htm
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 liczba permutacji nie przeprowadzających l. p. na siebie  JakubCh  1
 ilosc wszytskich rozwiązan równania.  kropq  3
 Liczba ciągów - zadanie 3  lennyh  1
 liczba czterocyfrowa - zadanie 5  Anonymous  2
 Liczba rozdań w brydżu  undothefuture  8
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl